97. Равносильность уравнений

Чтобы решить данное уравнение, его, как правило, преобра­зовывают, заменяя последовательно другими, более простыми. Этот процесс замены продолжают до тех пор, пока не получат уравне­ние, решения которого можно найти известным способом. Но что­бы -эти решения были решениями заданного уравнения, необхо­димо, чтобы в процессе преобразований получались уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Определение. Два уравнения называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, уравнения (х+1)² = 9 и (х — 2) (х -+- 4) = 0 равносильны на множестве действительных чисел, так как множество решений первого уравнения {— 4, 2} и множество решений второго урав­нения {2, —4} равны.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать уравнения, равносильные исходному. Эти преобразования нашли отражение в следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть уравнение f (x) — g (x) задано на мно­жестве X и h (x) — выражение, определенное на том же мно­жестве. Тогда уравнение f (x)=g (x) (1) и f (x)^-h (x)=g (x) + + h (х) (2) равносильны на множестве X.

Эту теорему можно сформулировать иначе: если к обеим час­тям уравнения с областью определения X прибавить одно и то­же выражение с переменной, определенное на том же множестве Л", получим новое уравнение, равносильное данному.

Доказательство. Обозначим через Т\ множество реше­ний уравнения (1), а через Т₂ множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т\ = Т₂. Но чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из 7"i является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т₂ является корнем уравнения (1).

Пусть число а — корень уравнения (1). Тогда а^Т\ и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f{a) = g{a), а выражение h (x) обращает в числовое выражение h (а). Прибавим 'к обеим частям истинного равенства! f(a) = g(a) числовое выражение h (а). Получим согласно свойства\ истинных числовых равенств 'истинное числовое равенство i

f(a) + h(a) = g(a) + h(a).

254

Но это равенство говорит о том, что число а является также и корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т. е. Т\<^Т₂.

Пусть теперь Ь — корень уравнения (2). Тогда Ь£Т₂ и при подстановке в уравнение обращает его в истинное числовое ра­венство f (b) + h (b) = g (b) + h (b).

Прибавим к обеим частям этого равенства числовое' выра­жение— h (b). Получим истинное числовое равенство f (b) = g {b), которое говорит о том, что число b—корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т. е. Т₂аТ\.

Так как T\czT₂ и T₂czT\, то по определению равных множеств Т\ = Т₂, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны на множестве X.

При решении уравнений чаще используется не сама данная теорема, а следствия из нее:

/. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или вы­ражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f (x) = g (x) задано на мно­жестве X и h (x) — выражение, определенное на том же мно­жестве и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f (x)=g (х) и f (x)-h (x) = = g (x) • h (x) равносильны на множестве X.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Из теоремы 2 вытекает следствие, которое часто использу­ется при решении уравнений:

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на од­но и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, рав­носильное исходному.

Решим уравнение 1— -|-=i-, xЈR, и выясним, какие теоре­тические положения при этом были использованы.

Ход Используемые теоретические

решения положения

Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения, полу­чили уравнение, равносильное исходному.

255

Таким образом, множество решений данного уравнения состоит из одного числа 2, т. е. {2}.

Возьмем теперь уравнение х(х—\) — 2х, xЈR. Иногда учащиеся решают его так: делят обе части на х, получают уравнение -к —1=2, откуда находят, что х — 3, и заключают: {3} — множество решений данного уравнения.

Но верно ли решено данное уравнение? Найдены ли все такие действительные значения х, которые обращают уравнение х(х — — \) = 2х в истинное числовое равенство?

Нетрудно видеть, что при х — 0 данное уравнение обраща­ется в истинное числовое равенство 0 • (0 — 1) = 2-0. Значит, О — корень данного уравнения. Почему же произошла потеря этого корня?

Дело в том, что уравнение х —1=2 не равносильно уравне­нию 2(х—- 1) = 2д: на множестве действительных чисел, так как

получено из последнего умножением, на выражение —, кото-

х

рое определено не для всех действительных, чисел (в частности, при х = 0 оно не имеет смысла), т. е. нами не выполнено условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

1. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х(х — 1) — 2х = 0.

2. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и при­ведем подобные члены: х (х — —3)=0.

3. Произведение двух мно­жителей равно нулю в том и только в том случае, когда хо­тя бы один из них равен нулю, поэтому л: = 0 или х — 3 = 0.

4. Перенеся число 3 в пра­вую часть второго уравнения, получаем: х = 0 или х = 3.

части

2. Отбросим общий знаме­натель: 6 — 2х = х.

3. Выражение —2х перено­сим в правую часть уравне­ния: 6 = х + 2л:.

4. Привели подобные чле­ны в правой части уравнения: 6 = 3х.

256

5. Разделили обе уравнения на 3: х = 2.

Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), полу­чили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, ис­ходному.

Воспользовались следстви­ем из теоремы 1 (или согласно теореме 1 прибавили к обеим частям выражение 2х, опреде­ленное для всех действитель­ных чисел), получили уравне­ние, равносильное предыдуще­му и, значит, данному.

Выполнили тождественное преобразование, получили

уравнение, равносильное пре­дыдущему и, значит, данному.

Воспользовались следстви­ем из теоремы 2 (или согласно теореме 2 умножили обе части

уравнения на —j, получили

уравнение, равносильное пре­дыдущему и, значит, исход­ному.

Как правильно решить уравнение х(х — 1) = 2х? Рассмотрим один из возможных вариантов решения.

Ход решения

Используемые теоретические положения

Воспользовались следстви­ем из теоремы 1, получили урав­нение, равносильное данному.

Выполнили тождественные преобразования, они не нару­шили равносильности уравне­ния.

Воспользовались условием равенства нулю произведения нескольких множителей, полу­чили совокупность уравнений, равносильных исходному.

Воспользовались следстви­ем из теоремы 1, получили уравнение, равносильное урав­нению х — 3 = 0.

Таким образом, множество решений данного уравнения состо­ит из двух чисел 0 и 3, т. е. имеет вид {0, 3}.

Заметим, что невыполнение условий теорем 1 и 2 может при­вести не только к потере корней уравнения, но и к появлению так называемых посторонних корней.

Какие корни считают посторонними?

Пусть даны два уравнения: f_l(x) = g_l(x) (1) и f2(x) = g₂(x) (2). Если известно, что все корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2), то про уравнение (2) можно сказать, что оно сле­дует из уравнения (1) или что уравнение (2) есть следствие уравнения (1). Если же уравнение (2) имеет корни, не удовлет­воряющие уравнению (1), то они и будут посторонними для урав-

5х 15

нения (1). Например, решая уравнение . ₂)(х—г) ⁼⁽^' ^{мы ос}"

вобождаемся от знаменателя, умножив обе части уравнения на (х + 2){х — 3), и получаем Ъх— 15 = 0, откуда х = 3. Но при х—3 зна-

■обращается в нуль, и поэтому х = 3

15

менатель дроби _(х~ _2)(х_₃₎

не может быть корнем исходного уравнения, т. е. х = 3 оказывается

для него посторонним корнем.

Вообще если при решении уравнения его заменяют следстви­ем (а не равносильным уравнением), то надо найти все корни уравнения-следствия, а затем их проверить, подставив в исход­ное уравнение. Посторонние корни отбрасывают.

9' Заказ 147 257

Следует заметить, что приобретение посторонних корней ме­нее «опасное» явление, чем их потеря. Поэтому при решении уравнений необходимо в первую очередь строго следить за пра­вильным применением теорем о равносильности.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и ре­зультатами действий. Например, решение уравнения (х-9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное на­ходится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умно­жить на частное: х-9 = 24-3, или х-9 = 72. Чтобы найти неиз­вестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72:9, или х — 8. Следовательно, решением дан­ного уравнения является число 8.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих пар уравнений равносиль­ ны на множестве действительных чисел:

1. 3 + 7*=—4 и 2(3 + 7х)=—8;

2. 3 + 7*= — 4 и 6 + 7*= —1;

3. 3 + 7*=—4 и * + 2 = 0.

2. Сформулируйте свойства отношения равносильности урав­нений. Какие из них используются в процессе решения уравнений?

3. Учащийся решил уравнение 5*+15 = 3* + 9 следующим образом: 5*+15 = 3*+ 9; 5 (* + 3) = 3 (* + 3); 5 = 3 — и сказал, что это уравнение корней не имеет, так как решение его при­водит к ложному числовому равенству. Прав ли учащийся?

2 1 4

4. Решите уравнение ^ ъ~⁼⁼~То—Г" ^и установите, какое

его преобразование приводит к появлению постороннего корня * = 2.

5. Решите уравнения (все они определены на множестве дей­ ствительных чисел) и объясните, какие теоретические положе­ ния были при этом использованы:

\\ ⁷* + ⁴ _3х — 5 ₀ч Зх — 2_о 2х —5

Ч —2 ^x~~2 J J) ^х 5~—⁶ —'

3) (2-*)²-*(*+1,5) = 4.

('Ю Решите уравнения, используя взаимосвязь между компо­нентами и результатами действий:

1. (* + 70)-4 = 328; 3) (85-х+ 765): 170 = 98;

2. 560:(* + 9)=56; 4) (*-13 581):709 = 36.

7. Решите уравнение ((* + 2)-81— 3530)-21 =714, используя:

1. теоремы о равносильности уравнений и правила тождест­венных преобразований;

2. взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Сравните способы записи решения.

258

_V

8. Решите уравнение различными способами:

1) (.г-1)² + 3(х-1) = 0; 2) (*+1)(х-2) + (х-2)(х + 4) =

= 6 (2х + 5).

9. При каких значениях х выражения 2х + 3(* + 2) и —(8* —3) имеюд равные значения?

X^Q) Решите задачи алгебраическим и арифметическим спо­собами:

1. На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каждой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг бу­дет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каж­дой полке?

2. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пач­ки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

3. Весь путь от турбазы до пионерлагеря, равный 16 км, ве­лосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время — со скоростью, на 3 км/ч меньшей. Найдите скорость велосипедиста на первом участке пути.