§ 15. Уравнения и неравенства

96. Уравнения с одной переменной

Возьмем два выражения с переменной: Ах и 5л:+ 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение Ах = 5х-\-2. Оно со­держит переменную и при подстановке значений переменной об­ращается в высказывание. Например, при х=\ предложение Ах = Ъх-\-2 обращается в ложное числовое равенство 4-1=5-1+2, а при х=— 2 — в истинное 4-( — 2) = 5-( — 2) + 2. Поэтому предло­жение Ах = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют равенством с переменной или уравнением с одной переменной.

В общем виде понятие уравнения с одной переменной можно определить так:

Определение. Пусть f(x) и g(x) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказыватель­ная форма вида f(x) = g(x) называется уравнением с одной пе­ременной.

Значение переменной х из множества X, при котором урав­нение обращается в истинное числовое равенство, называется его решением (или корнем). Найти множество решений данного уравнения — значит решить это уравнение.

Приведем несколько примеров уравнений с одной переменной.

1. Ах = 5х-\-2, xЈR. Это уравнение обращается в истинное числовое равенство только при х=—2. Значит, его множест­во решений есть { — 2}.

2. (х— \)(х-\-2) = 0, xЈR. Это уравнение с одной переменной обращается в истинное числовое равенство при х= 1 и при х— — 2. Следовательно, множество решений данного уравнения таково: {-2; 1}.

3. (Зх+1)-2 = 6х + 2, xЈR. Если раскрыть скобки в выраже­нии, стоящем в левой части, то данное уравнение приобретает вид 6л: + 2 = 6л: + 2. Полученная запись означает, что такое урав-

252

нение обращается в истинное высказывание при любом дейст­вительном значении переменной х. В этом случае говорят, что множество решений данного уравнения есть множество действи­тельных чисел.

4) (Зх+ 1)-2 = 6х+ 1, xЈR. Легко убедиться в том, что данное уравнение не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после преобразований в левой части имеем 6а' + 2, а в правой бх+I, но 1=^=2. В этом случае го­ворят, что данное уравнение не имеет решения или что множество его решений пусто.

В начальном курсе математики рассматриваются простей­шие уравнения вида х-\-а = Ь, а — х = Ь, х — a = b, x-a = b, х:а = Ь и др., где a, b — целые неотрицательные числа, х — переменная. Понятия уравнения и его решения определяются неявно, через контекст, и «в ходе решения таких уравнений у детей должно быть по­степенно сформировано понимание уравнения как равенства, со­держащего неизвестное число, обозначенное буквой. Они должны понять, что всякий раз, как мы встречаемся с уравнением, задача заключается в том, чтобы найти то значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным»'.

Упражнения

1. Проверьте, является ли —4 корнем уравнения х — 0,5 (х — — 12)= 13 — 0,25х, если оно задано на множестве действительных чисел.

2. Уравнение 2л:⁴ + 4л:² — 6 = 0 рассматривается на множестве натуральных чисел. Объясните, почему х—\ является корнем данного уравнения, а лт = 2 и х =— 1 не являются его корнями.

3. Вместо многоточия вставьте либо «необходимо», либо «до­статочно», либо «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание:

1. Для того чтобы а было корнем уравнения / (л:).= g (х), ..., чтобы а принадлежало области определения уравнения.

2. Для того чтобы а было корнем уравнения f(x) — g(x), ..., чтобы при подстановке а вместо х уравнение обращалось в -истин­ное числовое равенство.

3. Для того чтобы-а было корнем уравнения f (x) = g (х), ..., чтобы а принадлежало области определения и при подстановке а вместо х уравнение обращалось в истинное числовое равенство.

4. Истинны ли следующие высказывания:

1. Для того чтобы произведение (х — 3) (л: -4- 5) (х — 1) было равно нулю, необходимо, чтобы л: = 3.

2. Для того чтобы произведение (х — 3) (л: -f- 5) (х—1) было равно нулю, достаточно, чтобы х=\.

'Моро М. И., П ы ш к а л о А. М. Методика обучения математике в 1—3 классах.— М., 1978.— С. 98.

253

1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой ча­стях уравнения к общему зна-

6 — 2х х менателю: —■%—=-^.

5. Сформулируйте условия, при которых:

1. число 3 является корнем уравнения f (x)-g (х) = 0;

2. число 7 не является корнем уравнения / {x)-g (х) = 0;

3. число 2 является корнем уравнения , 'Л =0-

^{r J r} h (х)

6. Приведите различные виды уравнений, решаемых в начальных классах.