93. Числовые выражения и выражения с переменными

Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3-2 — 4, (25 + 3)-2—17 назы­ваются числовыми выражениями. Они конструируются из чисел, знаков действий и скобок. Считают, что каждое число также яв­ляется числовым выражением.

Число, полученное в результате последовательного выполне­ния действий, указанных в выражении, называется значением чис­лового выражения.

Так, значение числового выражения '3-2 — 4 равно 2.

Существуют выражения, которые не имеют числового значения. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8:(4 — 41 смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 — 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Выраже­ние л1—9 также не имеет числового значения в множестве дейст­вительных чисел, так как не существует действительного числа, квадрат которого был бы равен —9. Не имеет значения в множестве натуральных чисел и выражение 7 — 9.

Рассмотрим запись 2а+ 3. Она образована из знаков алфавита математического языка: цифр 2 и 3, знака действия сложения « + » и буквы а. Если вместо буквы а подставлять числа, то будут полу­чаться различные числовые выражения:

при а = 3 2-3 + 3;

при а = 1 2-7 + 3;

при а=—4 2-(-4) + 3.

В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 — выражением с переменной.

Переменную можно обозначать любой буквой латинского алфа­вита. В начальной школе для обозначения переменной, кроме букв, используют также знак П. Например, пишут 2-П+З.

Таким образом, переменная — это знак (символ), который раз­решается заменять числами.

Числа, которые разрешается подставлять вместо переменной в выражение, называются значениями переменной, а множество та­ких чисел — областью определения данного выражения.

Что значит «разрешается»?

Дело в том, что вместо переменной в выражении разрешает­ся представлять такие ее значения, при которых получаются число­вые выражения, имеющие смысл.

Рассмотрим несколько примеров.

1. В выражении 3 —4у переменная у может принимать любые действительные значения, так как при любом значении у будет получаться числовое выражение, имеющее смысл. В этом случае

244

можно сказать, что областью определения выражения 3 — Ау яв­ляется множество R действительных чисел.

2. Если в выражении _ вместо х подставить число 3, то

получим числовое выражение, которое не имеет смысла. Но при всех других действительных значениях переменной х будем иметь числовые выражения, имеющие смысл. Говорят, что область оп-

4

ределения выражения есть множество действительных чисел,

кроме числа 3, т. е. множество (—оо, 3)U(3, +oo).

3. Выражение л\х — 2 будет обращаться в числовое выраже­ ние, имеющее смысл, при тех действительных значениях х, которые удовлетворяют неравенству х — 2^0, т. е. областью определения данного выражения будет множество [2, + оо).

В математике рассматривают выражения, содержащие одну переменную, две, три и т. д. Все выражения, которые были рас­смотрены выше,— это выражения с одной переменной. Выражение Зх + 7(/ содержит две переменные, запись Ъх — (2y — 7z) есть выра­жение с тремя переменными.

Подчеркнем еще раз, что числовые выражения образуются из чисел, знаков действий и скобок, а в выражениях с переменными появляются еще и буквы. Если провести аналогию с русским язы­ком, то и числовые выражения и выражения с переменными — это слова, из которых можно образовывать математические предло­жения.

В начальных классах учащиеся первоначально знакомятся с \>

записями вида 2 + 3, 7 — 4, называя их соответственно суммой и разностью. Затем появляются числовые выражения более слож­ной структуры, но термины «математическое выражение» и «значе­ние выражения» появляются, когда учащиеся производят вычисле­ния в пределах сотни. После знакомства с умножением и делением рассматриваются числовые выражения, содержащие знаки умно­жения и деления. Учащиеся находят значения числовых выражений, иногда записывают решение текстовой задачи в виде числового выражения, составляют по данным выражениям задачи. При вы­полнении таких заданий учащиеся неизбежно сталкиваются с выра­жениями, значения которых в множестве целых неотрицательных чисел найти нельзя. Например, про выражение 6 — 7 они говорят, что его значение найти нельзя, так как нельзя из меньшего числа вычесть большее.

Работа с буквенными выражениями сводится к подстановке вмес­то букв их значений и вычислению значения получившегося число­вого выражения.

Упражнения

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения: 1) 42:5; 2) З²; 3) 27; 4) 32+ -14-2; 5) 7Vf6^3'; 6) sffi-

245

правила вычитания числа из суммы, суммы из числа, правило деления суммы на число и др. Тождествами являются прави­ла действий с нулем и единицей: а + О = 0 + а = а, а-0 = 0-а = 0, а-1 = 1-а = а, а:1=а. Опираясь на эти и другие общие правила, на практике устанавливают тождественность выражений, пони­мая тождественные преобразования данного выражения как по­следовательный переход от одного выражения к другому, тожде­ственно равному ему.

Приведем примеры выполнения тождественных преобразо­ваний.

1. Разложим на множители выражение ах — bx + ab — b².

Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вто­рым, третий с четвертым) — это тождественное преобразование возможно на основании сочетательного закона сложения дейст­вительных чисел: ах — bx + ab — b²=[ax — bx) + (ab — b²).

Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель — это тождественное преобразование возможно на основании распределительного закона умножения относительно сложения:

(ax-bx) + (ab-b²) = x(a-b)+b(a-b).

В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки — это тождественное преобразование:

x(a-b) + b(a-b)={a — b){x + b). Итак, ах —bx + ab —b² = (a — b)(x+b).

1-2* 1 — 5л: 2* — 3 3— 2х

2. Упростим выражение

Чтобы сделать одинаковыми знаменатели дробей, умножим числитель и знаменатель второй дроби на — 1 — это тождествен­ное преобразование (если умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, получим дробь, равную данной):

1—2* 1 —5-у _ 1-2* Ьх— 1 2*-3 3-2х~ 2*-3 2х-3 ' Воспользуемся далее правилом вычитания дробей с одинако­выми знаменателями — это тождественное преобразование:

1—2* Ьх— 1 1 — 2х — 5-у + 1

2*-3 2* — 3 ^— 2х — 3

Приведем подобные члены в числителе получившейся дроби:

1— 2х — Ьх+1 2 — 7*

2*-3 2* —3

1-2* 1-5* 2-7*

Итак,

2*-3 3-2* 2*-3^-

В начальном курсе математики выполняют тождественные преобразования только числовых выражений. Их теоретической 250

основой являются переместительное свойство сложения, умноже­ния и различные правила: правила прибавления суммы к числу, чис­ла к сумме, вычитания числа из суммы и др. Например, значение выражения 4 -(5 + 10) может быть найдено так: 4 • (5 + 10) = 4 • 5 + + 4-10 = 20 + 40 = 60, причем переход от данного выражения к тождественно равному ему выражению 4-5 + 4-10 осуществля­ется на основе правила умножения числа на сумму (а по существу, на основе распределительного закона умножения относительно сложения), а далее используются правила умножения и сложе­ния натуральных чисел.

Упражнения

1. Выясните, являются ли выражения х⁴ и 7'х² — 6х тождествен­ но равными на множестве:

1) {-3, 0, 1, 2, -1}; 2) {-3, 1, 2}.

2. Является ли равенство 3(4у + 2) = 6+ \2у тождеством на множестве:

1) (—1, 2, 3); 2) R?

3. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел:

1. 3p + 5m=5m + 3p; 3) х — у^=у—х;

2. b-7 = 7-b; 4) т (3 + t) = 3m +mt?

4. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих вы­ ражений:

1. 5(1— 2я-)+10л- = 5— 10х+10х = 5;

2. (а + 1) (а + 3) = а² + а + За + 3 = а² + 4а + 3 = а (а + 4) + 3.

*²-5* *²-25

5. Упростите выражение путем тождественных преобразо­ ваний:

* + 2 х²-4

1) 3(х + 4) — Зх\ 3)

2) 6(2ab-3)+2a(6b-5); 4) ^^1 ₊ ⁴,~%", ; ' т — 7п т — 49/г

5) ^х"~^у „,( ^{х x}\^+y2, ^х \ i.x + yf'\x-y у' — х²- х + у)

6. Найдите наиболее рациональным способом значение выра­ жения:

1)^=^1; 3) (V3 + V75)²;

2)⁸lfclЈ; 4) (V5 + V45)²-

7. Докажите, что при любом натуральном п значение выраже­ния (п + 7)² — п² делится на 7.

8. Докажите, что выражение а²—12а+ 37 при любом дейст­вительном значении а принимает положительное значение.

251

9. Вычислите рациональным способом значение выражения п² — 77п+\22 при п = 78.

10. Запишите правила, на основе которых выполняются тожде­ственные преобразования числовых выражений в' начальных классах, и приведите примеры применения этих правил.

10. Учащиеся начальных классов выполняют задание:

«В один столбик выпиши примеры с ответом 8, в другой — с ответом 12, в третий столбик — с ответом 36: 6-2, 9-4, 24:3, 45 — 9, 2-4, 20 — 8, 32:4, 6-6, 4-3, 60 — 24, 48:8».

1. Как называются выражения, оказавшиеся в одном стол­бике?

2. Можно ли в этой ситуации говорить о разбиении задан­ного множества числовых выражений на классы? Каким отно­шением оказываются связаны выражения каждого столбика?