Глава IV

УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА. ФУНКЦИИ

§ 14. Числовые равенства и неравенства

92. Об алфавите математического языка

Изучая математику, мы пользуемся как предложениями русско­го языка, так и предложениями, образованными из математических знаков (символов), т. е. предложениями собственно математиче­ского языка. Так, 2х + 3 = 5, 2x + 7>5.v являются предложениями, записанными с помощью математических символов.

Но, как известно, любое предложение образуется из слов, а слова — из букв некоторого алфавита. Следовательно, должен су-

242

шествовать и алфавит математического языка. Чтобы составить о нем представление, вспомним, какие знаки встречались в симво­лических записях, используемых в математике. Например, запись чисел в десятичной системе счисления осуществляется с помощью десяти цифр (знаков): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения пе­ременных, множеств и их элементов используются буквы латинско­го алфавита: а, Ь, с, ... , z, А, В, С, ... , Z. Для записи действий применяются знаки: +, —, •, :, дГ, П. U и др. Чтобы записать предложение, нужны знаки отношений (между числами, множест­вами, их элементами): =, >, <■; ||, _L, j и др. Кроме того, в символических записях встречаются скобки (круглые и фигурные), запятая.

Все перечисленные знаки входят в алфавит математического языка, языка искусственного, возникшего в связи с необходимостью в точных, сжатых и однозначно понимаемых формулировках ма­тематических законов, правил, доказательств.

Из знаков математического алфавита по определенным прави­лам конструируются слова и предложения. При этом слово в ма­тематике понимается так же как и в русском языке, т. е. это такая конечная последовательность (набор) букв алфавита этого языка, которая имеет смысл. Например, запись 7—:8+ смысла не имеет, и, значит, словом ее назвать нельзя.

Следует заметить, что мы познакомились с формальным подхо­дом к математическому языку. Исторически символика математики создавалась веками при участии многих выдающихся ученых. Так, считают, что обозначение неизвестных величин буквами использо­вал еще Диофант (III в.), широкое применение прописных букв ла­тинского алфавита в алгебре началось с Виета (XVI в.). Строч­ные буквы этого алфавита ввел для обозначения Р. Декарт (XVII в.). Знак равенства ( = ) впервые появился в работах английского уче­ного Р. Рекорда (XVI в.), но стал он общеупотребительным толь­ко в XVIII веке. Знаки неравенства (<, >) появились в начале XVII столетия, ввел их английский математик Гариот. И хотя знаки « = », «>», «о появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих записеТ! можно считать сло­ вами математического языка:

1. 2 + 3-4; 4) Vf6-I2:4;

2. 7+12-; 5) a²-2ab-7;

3. (17 + 3)-2а—18:2; 6) УТб-:аЬ-2с.

2. Среди следующих записей укажите предложения:

1. 2<3; 4) (2а-76)-8;

2. х²-3x^-4 = 0; 5) х\\у;

3. 5уу-Зх+=; 6) 172:4.

243

3. Образуйте из знаков математического алфавита два слова и два предложения.

4. Приведите примеры символических записей, встречающихся в начальном курсе математики, и объясните их смысл.