81. Алгоритм Евклида

Нахождение наибольшего общего делителя чисел способом раз­ложения их на простые множители иногда сопряжено с рядом труд­ностей. Например, раскладывая число 6815 на простые множители и найдя первый делитель 5, мы получаем число 1363, наименьшим простым делителем которого является число 29, но, чтобы его найти, надо проверить делимость числа 1363 на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29—лишь на 29 число 1373 делится нацело.

Существует способ, который позволяет с меньшими трудностями находить наибольший общий делитель данных чисел.

Но прежде обратим внимание на одно важное свойство общих делителей двух чисел. Возьмем, например, числа 525 и 231 и раз­делим с остатком 525 на 231. Получим: 525 = 231 • 2-}-63.

Обозначим через А множество общих делителей чисел 525 и 231, а через В множество общих делителей чисел 231 и 63 и дока­жем, что А = В.

Докажем сначала, что любой общий делитель чисел 525 и 231 является общим делителем чисел 231 и 63. Действительно, если 525- d и 231 \d, то согласно теореме о делимости разности по­лучаем, что и 63-d. В этом легко убедиться, если равенство 525 = = 231-2 + 63 записать в таком виде: 63 = 525 — 231-2. Таким обра­зом, любой общий делитель чисел 525 и 231 является общим де­лителем чисел 231 и 63, т. е. AczB.

Обратно: если / — общий делитель чисел 231 и 63, т. е. 231 \t и 63-/, то согласно теореме о делимости суммы 525\t. Следова­тельно, любой общий делитель чисел 231 и 63 является и общим делителем чисел 525'и 231, т. е. ВсА. -

На основании определения равных множеств имеем, что А = Б. Но если множества общих 'делителей данных пар чисел совпадают, то равны их наибольшие общие делители, т. е.

£>(525, 231) = D (231, 63).

Вообще если а и b — натуральные числа и a = bq-\-r где r<Lb то D(a, b)=D(b, г).

Доказательство этой теоремы проводится так же, как и дока­зательство частного случая, проведенного выше.

В чем важность этого свойства? Оно дает возможность при

213

1) Отрезок е\ уложился в отрезке а.\ точно П\ раз. Тогда дли­ на отрезка а выражается конечной десятичной дробью: а —

⁼\ 4~Т57 е = п,п\е. Например, а = 3,4е.

2) Отрезок а,\ оказывается состоящим из п\ отрезков, равных е\, и отрезка а₂, который короче е\. Тогда п,п\е<.а<п,п\е, где п,п\ и п,п{ — приближенные значения длины отрезка а с недостат­ ком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что в случае 2 процесс десятичного измерения длины отрезка а можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е

^в2~ш-

На практике этот процесс десятичного измерения длины отрез­ка на каком-то этапе закончится. И следовательно, в этой ситуа­ции результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь.

Если же представить процесс десятичного измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1) На некотором k-м шагу процесс измерения окончится. Тог­ да длина отрезка а выразится конечной десятичной дробью вида

П,П\П₂-..Пк.

2) Описанный процесс измерения длины отрезка бесконечен. Отчет о нем будет представляться символом п,п\П2.,.Пк..., который называют бесконечной десятичной" дробью.

Как убедиться в возможности такого исхода? Для этого доста­точно произвести десятичное измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональ-

2 ным числом 5--. Если бы оказалось, что в результате десятич­ного измерения длины такого отрезка получается конечная деся-

тичная дробь, то это означало бы, что число 5— можно предста­вить в виде конечной десятичной дроби, что невозможно: 5 —=

= 5,666....

Итак, в процессе десятичного измерения длин отрезков могут получаться бесконечные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной десятичной периодической дробью (т. е. положительным рациональным чис­лом) при выбранной единице длины.

Покажем, что если за единицу длины взять сторону квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена по­ложительным рациональным числом.

Предположим противное, т. е. что длина диагонали а квадра­та со стороной е (рис. 130) выражается несократимой дробью

~:а=:^~-е. По теореме Пифагора е²-\-е² = (— е) , или 2е² =

236

тание в множестве действительных чисел выполняется всегда, так же как и деление, за исключением случая деления на нуль.

Упражнений

1. Изобразите на луче (рис. 134) числа а + 3 и а —5.

2. Докажите или опровергните высказывания:

1. Всякое число, большее числа 35, положительно.

2. Всякое число, меньшее 19, положительно.

3. Существует положительное число, меньшее 19.

4. Всегда можно указать целое положительное число, меньшее любого положительного числа.

5. Любое число, меньшее какого-либо отрицательного числа, является числом отрицательным.

6. Всякое число, не большее нуля, есть число отрицательное.

3. При каких условиях предложение «Если модуль числа а боль­ше модуля числа Ь, то число а больше числа 6» является истин­ным высказыванием?

4. Где на координатной прямой лежит точка с координатой х, если:

1) х = 2; 2) |*-1|=2; 3) |дс|<5; 4) |*|>2; 5) |jc-1|<3?

5. Используя геометрическое понятие модуля, решите:

1. уравнение \'х — 3|=2;

2. неравенство' \х — 2|<3;

3. неравенство \х—1|>3.