77. Признаки делимости чисел в десятичной системе счисления

Вам известны признаки делимости на 2, 3, 4, 5 и др. Все они пред­назначены для чисел, записанных в десятичной системе счисления. Наша задача — обосновать эти признаки, опираясь на введенное определение отношения делимости и способ записи чисел в деся­тичной системе счисления.

203

3. Сформулируйте признак делимости на 20 и напишите 3 пяти­значных числа, которые делятся на 20.

4. Установите, какое из чисел можно представить в виде 30<7, где q—натуральное число (деление на 30 не производите):

1) 22 530; 2) 53 420.

5. Пусть А — множество натуральных чисел, кратных 7 и крат­ных 3. В — множество натуральных чисел, кратных 21. Докажите, что А = В.

6. Какие из чисел 14, 35, 70 являются делителями числа 840? (Деления на данные числа не производите.)

7. Верно ли, что при любом натуральном значении п значение выражения 1 In:

1) кратно 11; 2) не кратно 7?

8..Не производя умножения и деления уголком, установите, какие из произведений делятся на 70:

1) 105-20; 2) 42-12-5; 3) 85-33-4.

9. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

10. Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и самим числом делится на 6.

80. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел способом разложения на простые множители

Представление числа в виде произведения простых чисел на­зывается разложением этого числа на простые множители.

Например, запись 110 = 2-5-11 говорит о том, что число ПО разложено на простые множители 2, 5 и 11.

Вообще разложить на простые множители можно всякое состав­ное число, причем при любом способе получается одно и то же раз­ложение, если не учитывать порядка множителей. Поэтому пред­ставление числа ПО в виде произведения 2-5-11 или произведе­ния 5-2-11 есть, по существу, одно и то же разложение числа ПО на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют призна­ки деления на 2, 3, 5 и др. Вспомним способ записи разложения чисел на простые множители. Разложим, например, на простые множители число 720. Число 720 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложении числа 720. Разделим 720 на 2. Число 2 пишем справа от знака равенства, а частное 360— под числом 720. Число 360 делим на 2, получаем 180. Делим 180 на 2, получаем 90, делим 90 на 2, получаем 45, делим 45 на 3, получаем 15, делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.

210

720 = 2-2-2-2-3-3-5

360

180

90

45

15

5

' 1

Произведение одинаковых множителей принято заменять сте­пенью: 720 = 2⁴-3²-5. Такое представление числа 720 называют каноническим видом этого числа.

Разложение чисел на простые множители используется при на­хождении их наибольшего общего делителя и наименьшего обще­го кратного.

Найдем, например, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 3600 и 288.

Представим каждое из данных чисел в каноническом виде.

3600 = 2-2-2-2-3-3.5-5 = 2⁴.3².5²; 288 = 2-2-2-2-2.3-3 = 2⁵-3²

1800 144

900 72

450 36

225 18

75 g

25 з

5 1

1

В разложение на простые множители наибольшего общего де­лителя чисел 3600 и 288 должны войти все общие простые множи­тели, которые содержатся в разложениях данных чисел, причем каждый из них нужно взять с наименьшим показателем, с каким он входит в оба разложения. Поэтому в разложение наибольшего общего делителя чисел 3600 и 288 войдут множители 2⁴ и З² Зна­чит, D(3600, 288) = 2⁴.-3²=144.

В разложение на простые множители наименьшего общего крат­ного чисел 3600 и 288 должны войти все простые множители, кото­рые содержатся хотя бы 'в одном из разложений чисел 3600 и 288, причем каждый из них нужно взять с наибольшим показателем, вхо­дящим в оба разложения данных чисел. Поэтому в разложение наименьшего общего кратного чисел 3600 и 288 войдут множители 2,3,5. Значит,

#(3600, 288) = 2⁵-3²-5 = 7200. Вообще чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел: 1) представляем каждое данное число в каноническом виде;

211

2. образуем произведение общих для всех данных чисел про­стых множителей, причем каждый из них берем с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел;

3. находим значение этого произведения — оно и будет наи­большим общим делителем данных чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел:

1. представляем каждое данное число в каноническом виде;

2. образуем произведение из всех простых множителей, нахо­дящихся в разложениях данных чисел, причем каждый берем с наи­большим показателем, с каким он входит во все разложения дан­ных чисел;

3. находим значение этого произведения — оно и будет наи­меньшим общим кратным данных чисел.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найдем наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 60, 252 и 264.

Представим каждое число в каноническом виде: 60 = 2²-3-5, 252 = 2²-3²-7, 264 = 2³ - 3 • 11.

Чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел, обра­зуем произведение общих для всех данных разложений простых множителей, причем каждый из них возьмем с наименьшим пока­зателем, с каким он входит во все разложения данных чисел: £>(60, 252, 264) = 2²-3=12.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, обра­зуем произведение из всех простых множителей, находящихся в разложениях данных чисел, причем каждый из них возьмем с наи­большим показателем, с каким он входит во все разложения дан­ных чисел:

/((60, 252, 264) = 2³-3²-5-7- 11=27 720.

П р и м е р 2. Найдем наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 48 и 245. Представим каждое число в кано­ническом виде: 48 = 2⁴-3, 245 = 5-7².

Так как разложения данных чисел не содержат общих простых множителей, то D (48, 245)= 1, а /((48, 245) = 48-245 = 10 760.

Упражнения

1. Разложите на простые множители числа: 124, 588, 2700, 3780.

2. Какое число имеет разложение: 1) 2³-3²-7-13; 2) 2²-3-5³?

3. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:

1) 175 и 245; 2) 540 и 558; 3) 120, 80 и 280; 4) 675 и 154.

4. Найдите наименьшее общее кратное всех однозначных чет­ ных чисел.

212

5/ Наибольший общий делитель двух чисел, одно нз которых бООГ равен -120. Наименьшее общее кратное этих же чисел равно 4800. Найдите другое число.

6. Мимо станции железной дороги проходят один за другим три поезда: в первом —418 пассажиров, во втором —494 и в треть­ем —456. Сколько пассажирских вагонов в каждом поезде, если известно, что в каждом вагоне находится по одинаковому числу пассажиров и их число 'наибольшее из всех возможных?