60. Свойства множества целых неотрицательных чисел

Множество целых неотрицательных чисел обладает рядом свойств. В частности, оно упорядоченное и бесконечное.

Докажем, что множество целых неотрицательных чисел может быть упорядочено при помощи отношения «меньше». Для этого покажем, что это отношение транзитивно и антисимметрично, причем будем исходить из определения отношения «меньше» через сумму.

Теорема. Если а<Ь и Ь<.с, то а<с.

Доказательство. Так как а<b и b<с, то по определе­нию отношения «меньше» найдутся такие натуральные числа х и у, что Ь = а + х и с = Ь+у. Но тогда с = (а + х) + У; и на основании сочетательного закона сложения получаем с = а + (х + у). Поскольку х-\-у — целое неотрицательное число, то согласно определению отношения «меньше» а<.с.

Теорема. Если а<.Ь, то неверно, что b<La.

Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что ни для одного целого неотрицательного числа а не выполняется неравен­ство а<Са. Если бы имели а<а, то нашлось бы такое натуральное число с, что a = a-f-c, но это невозможно в силу единственности суммы. Предположим теперь, что оба неравенства a<Cb и Ь<.а выполняются. Тогда по свойству транзитивности отношения «мень­ше» будем иметь а<Са, что невозможно.

Так как отношение «меньше» для целых неотрицательных чисел транзитивно и антисимметрично, то оно является отношением порядка, а множество целых неотрицательных чисел — упорядочен­ным множеством.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекает, что для любых целых неотрицательных чисел а и b может выполняться лишь одно из отношений a<ib, a = b, b>a.

Располагая элементы этого множества так, чтобы из любых двух чисел сначала шло меньшее, получим ряд целых неотрица­тельных чисел: 0, 1,2, 3, 4, ... . Этот ряд бесконечен.

Возьмем некоторое множество А, в котором а элементов. Если

156

к нему присоединить еще один элемент, отличный от всех элементов множества А, то получим новое множество В, в котором будет а+1 элементов. Нетрудно доказать, что число а меньше числа a-j-1. Назовем число а+1 непосредственно следующим за числом а. Тогда для каждого целого неотрицательного числа можно указать единственное натуральное число, которое за ним непосредственно следует. Обратно: каждое целое неотрицательное число непосред­ственно следует не более чем за одним целым неотрицательным числом, нуль непосредственно не следует ни за каким целым не­отрицательным числом. Далее, отправляясь от числа 0 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натураль­ным числам, мы получим множество целых неотрицательных чисел.

Отношение «непосредственно следовать за» тесно связано со сложением и умножением целых неотрицательных чисел. Действи­тельно, сумму а+(6 + 1) легко найти, если известна сумма а + й: а + (& + 1) = (а + 6)+1, т. е. она равна числу, непосредственно сле­дующему за суммой а-\-Ь. Например, если известно, что 4 + 2 = 6, то для нахождения суммы 4 + 3 достаточно к 6 прибавить 1: 4 + 3 = 4 + (2 + 1) = (4 + 2)+1=6+1=7.

Аналогично используется понятие «непосредственно следовать за» и для умножения: произведение 7-6 легко найти, если известно, что 7-5 = 35. Для этого достаточно к 35 прибавить 7, так как 7-6 = 7-(5+1) = 7-5 + 7 = 35 + 7.

Отметим еще одно свойство множества целых неотрицательных чисел. Пусть а — некоторое целое неотрицательное число и а+1 — число, непосредственно следующее за а. Тогда ни для одного целого неотрицательного числа а нельзя указать такое натуральное число х, что а<х<.а-\-\. Это свойство называют свойством дискретности множества натуральных чисел, а сами числа а и а+1 называют соседними.

Уже при изучении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число натурального ряда. При этом ис­пользуются понятия «следует», «предшествует», прибавление и вы­читание 1, т. е. создаются условия для того, чтобы учащиеся увидели свойства чисел натурального ряда: любое число может быть получено прибавлением 1 к тому числу, которое встречается при счете перед ним; любое число на 1 больше, чем ему предшест­вующее, и др.

Упражнения

1. Первоклассникам предлагается заполнить пропуск в ряду 1, 2, [3 4, 5. Как должен объяснить свой ответ учащийся? Какими свойствами натурального ряда он воспользуется?

2. Учащимся I класса дано задание: назвать «соседей» числа 7. Какими свойствами натурального ряда должен воспользоваться учащийся, чтобы обосновать свой ответ?

57

В учебниках математики для начальных классов много простых задач, в которых рассматриваются различные величины и которые решаются при "помощи умножения или деления. Происходит это, как правило, с привлечением наглядности. При этом умножение трактуют как сложение одинаковых слагаемых, а деление рассмат­ривают как операцию, обратную умножению.

Упражнения

1. Как изменится значение длины отрезка:

1. при уменьшении единицы длины в 4 раза;

2. при увеличении единицы длины в 5 раз?

2. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются умно­ жением:

1. В буфет привезли 3 ящика апельсинов, по 9 кг в каждом. Сколько килограммов апельсинов привезли?

2. Сколько стоят 3 м ткани по цене 4 р. за метр?

3. Сыну 8 лет. Отец в 4 раза старше сына. Сколько лет отцу?

4. Сестре 8 лет, она в 2 раза моложе брата. Сколько лет брату?

3. Объясните, почему каждая из нижеприведенных задач ре­ шается делением:

1. На 10 к. купили 2 одинаковых конверта. Сколько стоит конверт?

2. Шерстяное платье стоит 27 р., а туфли — в 3 раза дешевле. Сколько стоят туфли?

3. На детское пальто расходуют 2 м драпа. Сколько таких пальто можно сшить из 12 м драпа?

4. В столовой израсходовали 80 кг картофеля и 8 кг моркови. Во сколько раз больше израсходовали картофеля, чем моркови?

5. Кухонный стол стоит 24 р., в 6 раз дороже, чем табуретка. Сколько стоит табуретка?

4. Решите задачи различными способами и обоснуйте выбор способа:

1. Для уроков труда купили 4 катушки белых ниток, по 10 к. за штуку, и 6 катушек черных ниток по Такой же цене. Сколько денег уплатили за эти нитки?

2. У одной закройщицы было 15 м ткани, а у другой 12 м. Из всей этой ткани оци скроили платья, расходуя на каждое по 3 м ткани. Сколько всего платьев они скроили?

3. Одна корова дает в сутки в среднем 14 кг молока. Сколь­ко килограммов молЪка можно получить от 10 таких коров за 7 суток?

Страшный удар русской культуре и науке был нанесен в период трехсотлетнего монгольского ига. За это время наука Западной Европы сделала большой шаг вперед, овладев десятичной системой счисления и другими достижениями математики арабов и индийцев. Понадобилось несколько столетий, чтобы русская наука снова за­няла достойное место в мире.

В конце XVI века, при Иване Грозном, на Руси появляются первые печатные математические книги, цель которых — облегчить счет при решении различных практических задач. Запись чисел в них выполнялась в славянской системе счисления.

Важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Ариф­метика, сиреч наука числительная», написанная Леонтием Филиппо­вичем Магницким. Она была издана при Петре I, в 1703 году, на славянском языке, но все вычисления в ней выполнялись в деся­тичной системе счисления. Долгое время эта книга была настольной для всех образованных людей, так как содержала не только мате­матический материал, но и сведения из астрономии, навигации и некоторых разделов других наук.

Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) был первым рус­ским выдающимся педагогом-математиком. Родом он из Осташков­ской патриаршей слободы бывшей Тверской губернии. Историки считают, что происходил он из крестьян и что фамилия его отца была Телятин. Фамилия Магницкий была ему присвоена по указу Петра I, который высоко ценил огромные знания Магницкого и говорил, что он притягивает к себе знания, как магнит.

Книга Л. Ф. Магницкого способствовала распространению деся­тичной системы счисления в России, она оказала заметное влияние на развитие ее научной мысли.

68. Сложение многозначных чисел в десятичной системе счисления

Выясним, как на практике выполняется сложение натуральных чисел.

Если числа а и b однозначные, то, чтобы найти сумму, достаточ­но сосчитать число элементов в объединении таких множеств А и В, что п (А) = а, п (В) = Ь и А[)В — 0. Но чтобы всякий раз, выполняя сложение таких чисел, не обращаться к множествам и счету, все суммы, которые получаются при сложении двух однозначных чи­сел, запоминают.

Все такие суммы записывают в особую таблицу, которая назы­вается таблицей сложения однозначных чисел.

Если числа а и b многозначные, то смысл действия сложе­ния сохраняется и здесь, но технически найти сумму путем пере­счета элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = Ь, чаще всего не представляется воз­можным.

Как известно, многозначные числа складывают «столбиком». Но

176

каковы теоретические положения, которые лежат в основе этого правила?

Рассмотрим сумму 273 + 3526. Представим слагаемые в виде сумм степеней десяти с коэффициентами: 273 + 3526 ==(2-10² + 7-10 + 3) + + (3-10³ + 5- 10²-f-2• 10 + 6). Раскроем скобки в полученном выра­жении, поменяем местами слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки —■ с десятками и т. д., и заключим их в скобки. Все это можно сделать на основании соответствующих законов сложения. Действительно,,сочетательный закон разрешает записать выражение без скобок: 2-10² + 7-10 + 3 + 3-10³ + 5-10² + + 2-10 + 6. На основании переместительного закона поменяем ме-стами елагаемые: 3 • 10³ + 2 • 1О² + 5 • 10² + 7 • 10 + 2 • 10 + 3 + 6. Соглас-но сочетательному закону произведем группировку: 3-10³ + (2-10² + + 5-10²) + (7-10 + 2-10) + (3 + 6). Вынесем за скобки в первой вы­деленной группе число 10 , а во второй — 10. Это можно сделать в соответствии с распределительным законом умножения относи­тельно сложения: 3-10³ + (2 + 5)-10² + (7 + 2)-10 + (3 + 6). Видим, что сложение данных чисел 273 и 3526 свелось к сложению однознач­ных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 3-10³ + 7-10² + 9-10 + 9.

Полученное выражение есть десятичная запись числа 3799.

Вообще, известное правило сложения чисел «столбиком» основы­вается на:

способе записи чисел в десятичной системе счисления;

переместительном и сочетательном законах сложения; \ распределительном-законе умножения относительно сложения; \„ таблице сложения однозначных чисел.

Покажем, что и в том случае, когда сумма однозначных чисел становится равной или больше 10, в основе правила сложения ле­жат те же теоретические факты. Рассмотрим, например, сумму 248 + 936.

Представим слагаемые в виде сумм степеней десяти с коэффици­ентами:

(2-10² + 4-10 + 8) + (9-10² + 3-10 + 6).

Воспользуемся законами сложения, распределительным законом умножения относительно сложения и преобразуем данное выражение к такому виду: (2 + 9)- 10² + (4 + 3)-10 + (8 + 6).

Видим, что и в этом.случае* сложение данных чисел свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 2 + 9, 8 + 6 превышают число 10, и поэтому полученное выражение не является десятичной записью какого-то числа. Необходимо сделать так, чтобы коэф­фициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 10 + 4:

(2 + 9)-10² + (4 + 3)-10 + П0 + 4).

177

Теперь, воспользовавшись законами сложения и умножения, при­ведем полученное выражение к виду

(2 + 9)-10² + (4 + 3+1)-10 + 4.

Суть последнего преобразования ясна: десяток, который получил­ся при сложении единиц, мы прибавили к десяткам данных чисел. И наконец, представив сумму 2 + 9 в виде MO-f 1, получаем:

(1 • 10+ 1)-10² + 8-10 + 4, откуда Ы0³ + Ы0² + 8-10 + 4.

Полученное выражение есть десятичная запись числа 1184. Сле­довательно, 248 + 936 = 1184.

В общем виде алгоритм сложения многозначных чисел, запи­санных в десятичной системе счисления, формулируется так:

1. Записываем второе слагаемое под первым так, чтобы соответ­ствующие разряды находились друг под другом.

2. Складываем цифры разряда единиц. Если сумма меньше десяти, ее записываем в разряд единиц ответа и переходим к следую­щему разряду (десятков).

3. Если сумма цифр единиц больше или равна. 10, то представ­ляем ее в виде 10 + с₀, где с₀ — однозначное число; записываем со в разряд единиц ответа и прибавляем 1 к цифре десятков первого слагаемого, после чего переходим к разряду десятков.

4. Повторяем те же действия с десятками, потом с сотнями и т. д. Процесс заканчиваем, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов.

В начальном курсе математики правило сложения многознач­ных чисел, по существу, формулируется при изучении письменного сложения трехзначных чисел. Этому правилу и записи сложения «столбиком» предшествует объяснение конкретного случая:

246+123 = (200 + 40 + 6) + (100 + 20 + 3)=(200+100)+(40 + 20) + + (6 + 3) = 300 + 60 + 9 = 369.

Обоснуем каждый шаг выполняемых преобразований.

Сначала числа 246 и 123 представляются в виде суммы разряд­ных слагаемых (т. е. используется, по существу, способ записи чисел в десятичной системе счисления). Следующий этап — к сотням при­бавляются сотни, к десяткам — десятки, к единицам — единицы, что возможно, если говорить школьным языком, на основании правила прибавления суммы к сумме, которое является следствием пере-местительного и сочетательного законов сложения. Затем находятся суммы в скобках. Поскольку слагаемые являются так называемыми круглыми числами, т. е. оканчиваются нулем, или однозначными числами, как в последней скобке, то их сложение происходит с опо­рой на таблицу сложения однозначных чисел. Выражение 300 + 60 + +9 есть сумма разрядных слагаемых (т. е. является десятичной записью числа), поэтому его можно,записать в виде 369.

178

Таким образом, сложение данных чисел 246 и 123 свелось к по­разрядному сложению единиц, десятков и сотен, что удобно делать «столбиком»:

,246

~М23

369

Упражнения

1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие тео­ретические факты лежат в основе алгоритма сложения много­значных чисел.

2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в на­чальной школе последовательно рассматриваются случаи сложения 231+342, 425 + 135, 237 + 526, 529 + 299. Каковы особенности сло­жения в каждом из них?

3. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложе­нием, и решите их:

1. В колхозе 115 лошадей, 327 свиней и 276 коров. Сколько всего голов скота в колхозе?

2. Из двух городов вышли навстречу друг другу два поезда. Один из них прошел до встречи 266 км, другой 187 км. Найти расстояние между городами.

3. Магазин продал 308 тетрадей в клетку, что на 153 тетради меньше, чем в линейку. Сколько тетрадей в линейку продал магазин?

4. Вычислите устно значение выражения. Использованный прием обоснуйте:

1. 2746 + 7254 + 9876;

2. 7238 + 8978 + 2762;

3. (4729+ 8473)+ 5271;

4. 4232 + 7419 + 5768 + 2591;

5. (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643).

5. Какая сумма больше: 4096 + 5267 + 2307 + 625 или 3805 + + 6341 + 1911+216?

JL Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение:

1. В одну школу привезли 298 парт, а в другую — на 123 парты больше. Сколько парт привезли в обе школы?

2. В июне в санатории было 158 рыбаков с Дальнего Востока, в июле — на 36 человек больше, а в августе — на 217 человек больше, чем в июле. Сколько всего рыбаков отдохнуло за эти три месяца?

3. Из двух городов вышли навстречу друг другу два поезда. Один из них прошел до встречи 227 км, это на 64 км меньше, чем прошел другой. Найти расстояние между городами.

179