40. Отношение порядка

Слово «порядок» мы употребляем часто как в обыденной жизни, так и на занятиях по математике. Мы говорим о порядке поступле­ния на работу, о порядке слов в предложении; на уроках мате­матики обсуждаем порядок выполнения действий, порядок записи решения уравнения, задачи и т. д.

Что же такое порядок?

Обратимся к нескольким примерам.

1. Чтобы установить порядок в множестве учащихся класса, достаточно выстроить их по росту. На практике эта процедура сводится к сравнению пар учащихся, т. е. на множестве учащихся рассматривается отношение «быть выше». Это отношение антисим­метрично и транзитивно. "хУЧ_

2. Множество учащихся класса можно упорядочить и по воз­расту, т. е. задав отношение «быть старше». Заметим, что это отношение также антисимметрично и транзитивно.

3. Всем известен порядок следования букв в русском алфа­вите. Его обеспечивает отношение «следует», обладающее свойст­вами антисимметричности и транзитивности.

Замеченные нами свойства отношений, устанавливающих неко­торый порядок в множестве, и легли в основу определения от­ношения порядка.

Определение. Отношение R на множестве X называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Множество X с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Множество Х = {2, 8, 12, 32} можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 69, а), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 69, б). Но, являясь отношениями порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество нату­ральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позволяет срав­нивать два любых различных числа из множества X, а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Например, пара чисел

8 и 12 отношением «кратно» не связана: нельзя сказать, что 8 кратно 12 либо 12 кратно 8.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

Уже в I классе учащиеся знакомятся с отношениями «больше» и «меньше» для натуральных чисел. Затем появляются отношения «длиннее» и «короче» для отрезков. При помощи этих отношений устанавливается порядок в множестве чисел и в множестве отрезков.

Упражнения

1. X — множество отрезков. Какие из следующих отношений являются отношениями порядка на этом множестве: 1) <s.x равно у»; 2) «х длиннее у»; 3) «х короче у на 2 см»; 4) «х длиннее у в 3 раза».

Г 2. На множестве Х = {3, 6, 9, 12, 15} задано отношение «ж — делитель у». Покажите, что это отношение упорядочивает множество X. Чем этот порядок отличается от того, который ус­танавливается в множестве X при помощи отношения «больше»?

3. Упорядочивает ли множество X (см. упр. 2) отношение «меньше или равно»? Постройте граф этого отношения.

4. Упорядочивает ли множество натуральных чисел отношение «следовать за»? А отношение «непосредственно следовать за»?

5. М — множество окружностей на плоскости, R — отношение «окружность х лежит внутри окружности у». Упорядочивает ли данное отношение множество Ml

6. Можно ли упорядочить множество прямых плоскости при по­мощи отношений: 1) «прямая х пересекает прямую у»; 2) «прямая х перпендикулярна прямой у»?