§ 6. Отношения и соответствия

36. Понятие отношения

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними. Так, усвоение понятия натурального числа — одного из ведущих понятий началь­ной математики и математики вообще — происходит благодаря изучению различных взаимосвязей между числами. Например, выясняется, что:

число 5 больше числа 2;

число 10 больше числа 8 на 2;

число 7 следует за числом 6, т. е. числа связаны различными отношениями: «больше», «больше на», «следует за» и др.

В геометрии изучают параллельность и перпендикулярность прямых, равенство и подобие фигур, т. е. различные отношения между геометрическими объектами.

Сравнивая множества, мы говорим, например, что они пере­секаются, или равны, или одно включено в другое, т. е. устанавли­ваем отношения между множествами.

В математике чаще всего рассматривают отношения между двумя объектами. Их называют бинарными. В нашем курсе мы будем изучать только такие отношения, поэтому в дальнейшем слово «бинарные» будем опускать.

Перед нами стоит задача: имея представления о конкретных отношениях между числами, геометрическими фигурами, множества­ми и другими объектами, установить, что общего у этих отношений, каким образом можно классифицировать такое огромное число самых разнообразных отношений. Знание этого материала нужно учителю начальных классов для того, чтобы, изучая конкретные отношения в начальной школе, понимать их общность, взаимосвязи, роль в усвоении тех или иных понятий.

Выясним сначала, что общего у различных известных нам отношений.

Рассмотрим множество чисел Х={3, 4, 5, 6, 8}. Между числами этого можества существует отношение «больше»: 4>3, 5>3, 6>3, 8>3, 5>4, 6>4, 8>4, 6>5, 8>5, 8>6.

Можно рассмотреть для данных чисел и отношение «больше на 1»: «4 больше 3 на 1», «5 больше 4 на 1», «6 больше 5 на 1».

Числа данного множества связаны также отношением «меньше в 2 раза»: «3 меньше 6 в 2 раза», «4 меньше 8 в 2 раза».

Можно указать и другие отношения между числами 3, 4, 5, 6 и 8, мы ограничимся тремя, названными выше.

Обратим внимание на следующее: рассматривая то или иное отношение, мы каждый раз оперировали упорядоченными парами, образованными из чисел данного множества. Для отношения «боль­ше» это было множество {(4, 3), (5, 3), (6, 3), (8, 3), (5, 4), (6, 4), (8, 4), (6, 5), (8, 5), (8, 6)), для отношения «больше на 1» — {(4, 3),

«8

~AAiB[C\. Обобщением приведенных записей является запись xRy, которая означает, что элемент х находится в отношении R с эле­ментом у.

Ни в начальном курсе математики, ни в средней школе понятие отношения в общем виде не вводится, здесь изучают конкретные отношения между различными объектами.

В начальной математике большое внимание уделяется изучению отношений между числами. Задают их по-разному: при помощи предложений с двумя переменными, имеющими краткую форму («больше», «больше в ... раз», «меньше на ...»), заполняют табли­цы. Со значительным числом отношений учащиеся начальных клас­сов встречаются при решении текстовых задач. Например, чтобы решить задачу «Колхоз продал государству 364 т пшеницы, риса на 76 т меньше, чем пшеницы, а гречихи в 32 раза меньше, чем ржи. Сколько всего зерна продал колхоз государству?» учащийся должен хорошо понимать смысл отношений «меньше на 76» и «меньше в 32 раза».

Упражнения

1. Задайте различными способами какое-либо отношение меж­ду элементами множества А={3, 6, 9, 18, 27}.

1. Запишите в виде равенства предложение:

1) число х больше числа у на 5; 2) число х меньше числа у на 7; 3) число х больше числа у в 5 раз; 4) число х меньше числа у в 5 раз.

3. Задайте в виде неравенства с двумя переменными отношения: 1) «меньше»; 2) «меньше или равно».

4. Приведите примеры отношений, рассматриваемые в началь­ных классах:

1) на множестве натуральных чисел; 2) на множестве отрезков; 3) в текстовых задачах.

5. Элементы множества Х = {0, 1,3, 4, 6) находятся в отношении Р = {(0, 1), (0, 3), (0, 4), (0, 6), (1, 4), (6, 6)}. Постройте граф этого отношения.

6. Постройте граф отношения «больше или равно», заданного на множестве {0, 1, 2, 3, 4}. Как задать это отношение при помощи неравенства с двумя переменными?

7. Решите задачи, выделив предварительно отношения, которые в них рассматриваются:

1. На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с первой полки сняли 8 книг, а на другую положили 5 книг, то на второй полке стало на 17 книг меньше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке?

2. На автобазе было на 46 грузовых машин больше, чем авто­бусов. Сколько грузовых машин было на автобазе, если их было в 3 раза больше, чем автобусов?

102

10. Сколько классов эквивалентности определяет на множестве натуральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же циф­рой»? Назовите по одному представителю каждого класса.