1. Подмножества XI, x2,..., Хп попарно не пересекаются;

2. объединение подмножеств Х\, Х2,..., Х„ совпадает с множе­ством X.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классифи­кацию считают неправильной.

Так, множество X треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, вы­деленные подмножества попарно не пересекаются (среди остроуголь­ных треугольников нет прямоугольных и тупоугольных, среди пря­моугольных — тупоугольных) и их объединение совпадает с мно­жеством X.

Однако не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества. Например, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобед­ренных, равносторонних и разносторонних, то разбиения множества X на классы мы не получим, поскольку множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторон­ние треугольники являются равнобедренными).

Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы «выделить подмножество, достаточно ука­зать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его эле­менты обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные 3, кратные 5 и т. д. Предпо­ложим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свой­ством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т. е. получаем еще одно подмножество множества натуральных

81

элементов объединения множеств В к С. Найти число элементов в объединении множеств В и С можно различными способами. Во-первых, просуммировать число учащихся, оказавшихся в первых трех классах: 17+17-1-6 = 40 (учащихся), и, во-вторых, воспользо­ваться формулой подсчета числа элементов объединения двух пере­секающихся множеств: п (B[jС) = п (В) + п (С) — п (В(]С) = 84+ 23 —

• 17 = 40 (учащихся). Так как в классе всего 40 человек, то число учащихся, не выписывающих ни газеты, ни журнала, равно 40 —

• 40 = 0, т. е. в классе нет учащихся, которые бы не выписывали ни журнала, ни газеты.

Рассмотрим еще такую задачу: «Из 40 учащихся класса 23 занимается в математическом кружке, а 27— в литературном. Каким может быть число учащихся: а) занимающихся и в математическом, и в литературном кружке; б) занимающихся хотя бы в одном из этих кружков?»

В задаче рассматриваются множества: А — учащихся класса, В — учащихся, занимающихся в математическом кружке, С — уча­щихся, занимающихся в литературном кружке, и известно, что п(А) = 40, п{В)=23, я(С) = 27. Число учащихся, занимающихся одновременно в двух кружках,— это число элементов пересечения множеств В и С. Обозначим его через х. Число учащихся, зани­мающихся хотя бы в одном из этих кружков,— это число эле­ментов в объединении множеств В и С. Обозначим его через у. Числа х и у принимают различные натуральные значения в зави­симости от того, какие отношения существуют между множества­ми В и С (см. п. 25).

В данной задаче множества В и С таковы, что их пересече­ние всегда не пусто. Действительно, если допустить, что В(]С—0, тогда п (В [J Q = 23 + 27 = 50, что невозможно, поскольку в классе всего 40 учащихся. Значит, для множеств В и С в данной задаче возможны случаи, представленные на рисунке 45.

Очевидно, число х элементов в пересечении множеств В и С будет минимальным тогда, когда их объединение совпадает с мно­жеством А, т. е. когда п (В[]С) = п (В) + п {С) — п (В[}С) = 23 + 27 — — 40=10. Это число может увеличиваться до тех пор, пока мно-

жество В не станет подмножеством множества С, и тогда п (В[)С) = = 23. При этом число учащихся, занимающихся хотя бы в одном из кружков, уменьшится от 40 до 27 (27— это число элементов в объединении множеств В и С при условии, что В с С).

Таким образом, число учащихся, которые занимаются и в ма­тематическом, и в литературном кружке, может изменяться от 10 до 23 включительно, т. е. 10^x^23, xЈN, а число учащихся, которые занимаются хотя бы в одном кружке, при этом изменяется от 40 до 27 включительно, т. е. 27<!у^40, yЈN.

Упражнения

1. Можно ли узнать, сколько человек в классе, если в нем: 1) 17 мальчиков и 15 девочек; 2) 17 мальчиков и 23 пионера?

2. Из 50 учащихся 37 изучают английский язык, 17— немецкий. Сколько человек изучают оба языка?

3. В классе несколько мальчиков собирали марки. 15 человек собирали марки С|й$!?, 11 человек собирали иностранные марки, из них 6 человек собирали и марки СССР, и иностранные марки. Сколько мальчиков в классе собирали марки?

4. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15— в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той и в другой секции. Сколько школьников не занимается ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции?

5. Из 100 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий — 50 человек, французский — 49, английский и немецкий — 13, английский и французский—14, немецкий и французский—12. Все три языка изучают 5 учащихся. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?

6. В лыжной, хоккейной и конькобежной секциях 38 человек. Известно, что в лыжной секции занимается 21 человек, среди ко­торых 3 человека занимались еще в конькобежной секции, 6 человек еще в хоккейной секции и 1 человек занимался одновременно во всех трех секциях. В конькобежной секции занимались 13 человек, среди которых 5 человек занимались одновременно в двух секциях. Сколько человек занималось в хоккейной секции?

7. В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимают­ся плаванием 25, ходят на лыжах 27. Одновременно занимаются плаванием и баскетболом 15, баскетболом и лыжами 16, плава­нием и лыжами 18 человек. Один из учащихся освобожден от занятий по физкультуре. Сколько человек занимается всеми указан­ными видами спорта? Сколько человек занимается только одним видом спорта?

8. В группе 30 учащихся, из них 18 увлекаются математикой, а 17— русский языком. Каким может быть число учащихся, увле­кающихся обоими предметами? увлекающихся хотя бы одним пред­метом? •

9. Из 30 учащихся группы 15 умеют вязать, a 'fX— шить. Каким

87