§ 5. Множества и операции над ними 23. Понятия множества и элемента множества

В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое: числа от 1 до 10, натураль­ ные числа, однозначные числа, треугольники, квадраты и т. д. -^ Все эти различные совокупности называют множествами. ^-",

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на* примерах. Так, можно говорить о множестве учащих­ся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфа­вита, о множестве натуральных чисел.

Математический смысл слова «множество» отличается от того,

61

как оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим числом предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

В некоторых случаях множества обозначают буквами латин­ского алфавита: А, В, С, ..., Z. Множество, не содержащее ли одного объекта, называют пустым и обозначают знаком 0.

Объекты, из которых образовано множество, называют'его элементами. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с, ..., г.

В математике и других науках нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что число 5 нату­ральное. Другими словами, мы утверждаем, что число 5 при­надлежит множеству натуральных чисел. Или, например, гово­рим, что число 0,75 не является натуральным. Это означает, что число 0,75 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Предложение вида «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, используя символы: аеЛ. Прочитать его можно по-разному:

Объект а принадлежит множеству А.

Объект а — элемент множества А.

Множество А содержит элемент а.

Предложение «Объект а не принадлежит множеству А» можно записать так: афА. Его читают:

Объект а не принадлежит множеству А.

Объект а не является элементом множества А.

Множество А не содержит элемента а.

Пусть А — множество однозначных чисел. Тогда предложение «ЗеЛ» можно прочитать: «Число 3 однозначное», а запись «12^Л» означает; «Число 12 не является однозначным».

Множества бывают конечные и бесконечные. Так, множество дней недели конечно, а множество точек на прямой бесконечно. Бесконечными являются и такие множества, как множество на­туральных чисел, множество целых чисел, множество рациональ­ных чисел, множество действительных чисел. Для этих множеств в математике приняты специальные обозначения: буковой N обо­значают множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, /? — множество действительных чисел.

Упражнения

1. Назовите три элемента множества: 1) предметов, изучаемых в педагогическом училище; 2) звонких согласных букв русского алфавита; 3) натуральных чисел.

2. Прочитайте различными способами предложения: 1) 12 <= X', 2) -3(£Х.

62

I

5 и 6, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными. При этом возможна запись А =(3,4,5,6}, в которой перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки.

Однако если множество бесконечно, то его элементы пере­числить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множе­ство с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множеств: указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство — это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел. Свой­ство, которым обладает любой элемент данного множества,— «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решить вопрос о том, принадлежит какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 21 содержит­ся в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множе­ству А не принадлежит — оно не является двузначным.

Случается, что одно и то же множество можно задать, ука­зав различные характеристические свойства его элементов. На­пример, множество квадратов можно задать как множество прямо­угольников с равными сторонами и как множество ромбов с пря­мыми углами.

Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать характеристи­ческое свойство его элементов. Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные и бесконечные множества в от­личие от первого способа, который, как правило, может быть ис­пользован .для задания конечных множеств с небольшим числом элементов. Иногда этот, первый способ используется и для задания бесконечных множеств. Например, множество N натуральных чисел может быть задано в виде ^ = {1, 2, 3, ...}. Однако такой способ записи возможен лишь тогда, когда по записанной части множества ясно, что означает многоточие.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано и первым и вторым способом. Например, множество В натуральных чисел, меньших 7, заданное посред­ством указания характеристического свойства его элементов, можно задать и так: /? = {1,2, 3, 4,5,6), т. е. перечислив все его элементы.

В начальном курсе математики понятия множества и элемен­та множества в явном виде не изучаются, но в силу их большой общности они, по существу, пронизывают всю начальную мате­матику. Так, при выполнении задания «Запишите числа, которые больше чем 65 и меньше чем 75» учащиеся встречаются с двумя способами задания одной и той же совокупности чисел.

Один способ — указано свойство чисел «быть больше чем 65

64

и меньше чем 75», другой — числа этой совокупности перечисляют­ся: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74. Смысл упражнения — перейти от одного способа задания множества к другому.

Аналогичные задачи приходится решать младшим школьни­кам и на других уроках, в частности на уроках русского языка: «Назовите все согласные буквы русского алфавита», «Подчерк­ните в данном упражнении все существительные», «Выпишите из текста все прилагательные» и т. д.

Упражнения

1. Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения: 1) X — множество чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5; 2) Y— мно­жество букв в слове «математика».

2. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?

3. Перечислите элементы следующих множеств: А — множество нечетных однозначных чисел;

В — множество натуральных чисел, не меньших 5; С — множество двузначных чисел, делящихся на 10.

4. Укажите характеристическое свойство элементов множе­ ства:

1. {а, е, ё, и, о, у, э, ю, я, ы);

2. {23, 22,21,20, 19, 18, 17, 16, 15);

3. {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

5. Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства (х — действительное число): 1) лг>5,3; 2) х^—3,8; 3) —4,5<л:<4; 4) 2,7<лг<9.

6. Выясните, множество решений какого неравенства изобра­жено на координатной прямой в каждом случае (рис. 20).

7. Найдите множество действительных корней уравнения:

1. Зл: = х + 8; 3) 3jc + 5 = 3 (*+ 1);

2. З(5х+10) = 30+15*; 4) х(х+Щ = 0.

8. А — множество двузначных чисел, запись которых оканчи­ вается цифрой 1. Принадлежат ли этому множеству числа 28, 31, 321, 61?

4. Даны множества: А — множество натуральных чисел; В — множество натуральных чисел, кратных 7. Верно ли, что:

1) 84£Л\Я; 2) 17£Л\В?

5. Найдите дополнение множества Y до множества X, если:

1. У — множество точек отрезка АВ, X — множество точек пря­мой АВ;

2. Y — множество точек квадрата, X — множество точек круга, в который вписан данный квадрат.

6. F — множество равнобедренных треугольников, Н — множе­ ство равносторонних треугольников.

Начертите два треугольника, принадлежащие множеству F\H.

7. Из каких чисел состоит дополнение:

1. множества натуральных чисел до множества целых;

2. множества целых чисел до множества рациональных;

3. множества рациональных чисел до множества действитель­ных?

8. Какие числа принадлежат множеству А\В[}С, если:

1. А — множество натуральных чисел; В — множество нату­ральных чисел, кратных 7; С — множество натуральных чисел, кратных 3;

2. А — множество натуральных чисел; В — множество натураль­ных чисел, кратных А; С — множество натуральных чисел, крат­ных 8?

Указание. Операции вычитания и объединения множеств в случае отсутствия скобок выполняются по порядку.

9. Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых множеств А, В и С, таких, что BczA, CczA, истинны равенства:

1. A\(B[]C)=(A\B)f](A\C);

2. A\(B(]C) = (A\B)U(A\C).

10. Назовите все множества, о которых идет речь в задаче:

1. У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товарищу. Сколько книг осталось у Коли?

2. На катке катались 7 мальчиков. Девочек было на 2 меньше, чем мальчиков. Сколько девочек было на катке?

11. Установите, какое множество является дополнением одного множества до другого в каждой из задач:

1. Пионеры сделали 10 игрушек. Из них 8 игрушек они отда­ли в детский сад. Сколько игрушек осталось у пионеров?

2. У Вани 6 значков, а у Лены на 2 значка меньше. Сколько значков у Лены?

31. Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Классификация — это действие распределения объектов по клас­сам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

80

Как правило, целью классификации является систематизация наших знаний. Например, в биологии имеется классификация жи­вотных, охватывающая до 1,5 млн, различных видов животных, в ботанике — классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. Классификация дает возможность рассмотреть это много­образие в определенной системе, выделить интересующие нас виды

растений или животных.

Широко применяется классификация в математике. Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы (меньше развернутого) бывают острые, прямые и тупые.

Каким условиям должна удовлетворять правильно выполненная

классификация?

Любая классификация связана с расчленением некоторого мно­ жества объектов.на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмноже­ ство, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы. Ч/"

Считают, что множество X разбито на классы Х\, Хг, ..., Х„, еслиОи-