22. Решение задач алгебраическими способами

При решении любой задачи алгебраическим способом после анализа содержания задачи выбирается неизвестное, обозначается буквой, вводится в текст задачи, а затем на основе выделенных в содержании задачи зависимостей составляются два выражения, связанные отношением равенства, что позволяет записать соответ­ствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения

59

корни осмысливаются с точки зрения содержания задачи, а корни, не соответствующие _v условию задачи, отбрасываются. Если бук­вой обозначено искомое, оставшиеся корни могут сразу дать от­вет на вопрос задачи. Если буквой обозначено неизвестное, не являющееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвя­зи его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой.

Покажем все этапы решения алгебраическим способом на при­мере следующей задачи: «Огородный участок, имеющий форму пря­моугольника, одна сторона которого на Юм больше другой, тре­буется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если из­вестно, что площадь участка равна 1200 м²».

Анализ содержания задачи и приемы его выполнения при алгебраическом способе решения существенно не отличаются от соответствующих приемов при арифметическом решении, поэтому приведем лишь результаты такого анализа.

В задаче рассматривается участок прямоугольной формы. Из­вестно, что одна его сторона на 10 м больше другой, а площадь равна 1200 м². Требуется определить периметр этого прямоуголь­ного участка.

Периметр прямоугольника можно найти, если будут известны длины его сторон. Поэтому обозначим через х м длину одной сто­роны. Тогда (х+ 10) м — длина другой его стороны. Так как пло­щадь прямоугольника можно выразить через длины его сторон, то получаем уравнение х-(х + 10)= 1200. "Решим его:

*²+10.t=1200,

х² + Юл'— 1200 = 0,

*= — 5±-\/25+1200 = —5±35,

_Л-_{1 =} 30, х₂=— 40.

По смыслу задачи значение х (длина стороны) должно быть положительным числом. Зтому условию удовлетворяет только первый корень. Значит, длина одной стороны прямоугольного участка равна 30 м, другой — 40 м (30+10 = 40), а периметр равен 2-30 + 2-40=140 (м).

Проверку можно выполнить, соотнеся найденный результат с условием задачи. Для этого введем в текст задачи найденный ре­зультат: «Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого равна 30 м, а другая на Юм больше, тре­буется обнести изгородью. Длина изгороди 140 м, а площадь равна 1200 м²».

Проверим, не возникает ли из сказанного в тексте какое-либо противоречие. Так как длина одной стороны прямоугольника 30 м, а его периметр равен 140 м, то длина другой его стороны составляет (140 —2-30):2 = 40 (м), т. е. на 10 м больше первой. Кроме того, зная длины сторон, можно найти площадь прямо­угольника: 30-40=1200 м². Как видим, полученный текст не

60

содержит противоречий. Значит, найденный результат удовлет­воряет условию задачи.

Проверку можно выполнить иначе, решив задачу другим

способом.

Упражнения

1. Решите задачу различными алгебраическими способами:

1. От деревни до совхоза 20 км, а от совхоза до станции 40 км. Из совхоза по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию через совхоз по той же дороге отправился мотоциклист. С какой ско­ростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?

2. Периметр прямоугольника равен 60 см.? Если длину увели­чить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то площадь прямо­угольника уменьшится на 32 см². Найдите площадь прямоуголь­ника.

2. Решите задачу алгебраическим способом и проверьте ее, решив арифметическим способом:

1. Колхоз отвел под гречиху и овес 700 га, причем площадь, отведенная под овес, была на 60 га больше площади, отведенной под гречиху. Сколько гектаров было отведено под овес и сколько под гречиху?

2. В двух кусках одинаковое количество ткани. После того как от одного отрезали 18 м, а от другого отрезали 25 м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани в каждом куске?

3. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от А на расстоянии 20 км, вы­ехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист со скоростью 16 км/ч. На каком расстоянии от пунк­та А мотоциклист догонит велосипедиста?