20. Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение

Одним из наиболее распространенных приемов поиска плана решения задачи арифметическими способами является разбор задачи по тексту (заданному или переформулированному).

Разбор задачи по тексту задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.

При разборе задачи от данных к вопросу нужно выделить в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при выполнении первого этапа решения) определить, какое неизвестное может быть найде­но по этим данным и с помощью какого арифметического дейст­вия. Считая это неизвестное данным, надо вновь выделить два взаимосвязанных данных, определить неизвестное, которое может быть найдено по ним, а также соответствующее арифметическое действие и т. д., поме не будет выяснено действие, выполнение которого приводит к получению искомого.

Проведем такой разбор по тексту задачи, рассмотренной в п. 19: «Турист ехал 6* ч по 56 км/ч. Осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Требуется узнать весь путь».

Рассуждения ведем от данных к вопросу: «Известно, что ту­рист ехал 6 ч по 56 км/ч. По этим данным можно узнать рас­стояние, которое проехал турист за 6 ч. Для этого достаточно ско­рость умножить на время. Зная пройденное расстояние и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему рав­но оставшееся расстояние. Для этого пройденное расстояние нуж­но умножить на 4 (увеличить в 4 раза). Зная, сколько километ­ров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можем найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути. Итак, первым действием будем находить расстояние, которое турист проехал на поезде; вторым действием — расстояние, которое ему осталось проехать; третьим — весь путь».

При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить вни­мание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе текста задачи), что достаточно узнать

53

Найдем расстояние, которое должен был проехать турист: 336+1344=1680 (км).

Ответ: 1680 км.

IV. Запись вопросов и соответствующих дей­ствий.

1. Сколько километров проехал турист на поезде? 56-6 = 336 (км).

2. Сколько километров осталось проехать туристу? 336-4=1344 (км).

3. Сколько километров турист должен был проехать? 336+1344 = 1680 (км).

Ответ: 1680 км.

Упражнения

1. Проанализируйте содержание задачи, проведите ее раз­ бор и запишите решение в форме вопросов и соответствующих действий:

«Капитан теплохода получил задание пройти 540 км за 16 ч. 180 км теплоход проплыл со скоростью 30 км/ч. С какой ско­ростью теплоход должен проплыть остальное расстояние, что­бы выполнить задание в положенное время?»

2. Найдите два арифметических способа решения задачи, за­ пишите одно решение по действиям, а другое — составив выра­ жение:

«Из поселка в город, до которого 27 км, выехал велосипе­дист. Проехав — пути, он вернулся в поселок, пробыл там пол­часа и после этого снова поехал в город. Сколько времени затра­тил велосипедист, пока доехал до города, если скорость движе­ния была равна 15 км/ч?»

Можно ли решить эту задачу алгебраическим способом?

3. Решите задачу арифметическим способом:

«На крыше дома сидело несколько голубей. Когда на крышу село еще 15 голубей, а улетело 18 голубей, то на крыше оста­лось 16 голубей. Сколько голубей было на крыше первоначально?»

Решение запишите по действиям с пояснением к каждому выполняемому действию.

4. Дана задача: «Два плотника заработали вместе 140 р. Один из них работал 14 дней по 7 часов в день, а другой — 7 дней по 6 часов. Сколько денег заработал каждый плотник, если почасовая оплата была одинакова?»

1. Запишите кратко условие задачи.

2. Выясните, какой способ разбора данной задачи является наиболее целесообразным.

56

3) Решите задачу арифметическим способом.

5. Какой способ разбора данной задачи наиболее целесооб­ разен:

«В одном бидоне 36 л молока. Когда из него перелили в дру­гой 4 л, то в бидонах молока стало поровну. Сколько литров молока было в другом бидоне?»

6. Дана задача: «Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше другого?»

Сравните разные способы ее решения.

/ Способ II способ

1. 76:2 = 38 (км) 1) 3-2 = 6 (км)

2. 38 — 3 = 35 (км/ч) 2) 76 — 6 = 70 (км)

3. 35:2=17,5 (км/ч) 3) 70:2 = 35 (км)

4. 17,5 + 3 = 20,5 (км/ч) 4) 35:2=17,5 (км/ч)

5) 17,5 + 3 = 20,5 (км/ч)

При каком способе рассуждения проще?

21. Приемы проверки решения задачи

Проверка включается в завершающий этап решения, в резуль­тате которого устанавливается правильность или ошибочность вы­полненного решения.

При проверке на основе ряда умственных или практических действий должен быть сделан вывод в виде рассуждения: «Так как..., то задача решена верно (неверно)».

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача.

1. Прикидка. Суть этого приема заключается в прогно­зировании с некоторой степенью точности правильности результа­та решения. Применение прикидки дает точный ответ на вопрос «Правильно ли решена задача?» лишь в том случае, если полу­ченный при решении результат не соответствует прогнозируемому.

Покажем, как проводятся рассуждения при использовании этого приема в ходе проверки решения следующей задачи:

«В одном куске 5 м ткани, в другом 7 м такой же ткани. Сколь­ко стоит каждый кусок, если за оба куска уплатили 36 р.?»

Вначале на основе анализа содержания задачи устанавли­ваем, что стоимость каждого куска ткани меньше чем 36 р. и второй кусок дороже первого. Выполнив решение 5 + 7=12 (м), 36:12 = 3 (р.), 3-5=15 (р.), 3-7 = 21 (р.), устанавливаем, что дей­ствительно каждый кусок стоит меньше чем 36 р. и второй кусок дороже первого. Полученный результат соответствует прогнозируемому, по-видимому, задача решена верно.

Предположим, что в результате решения этой задачи полу-

57

чили: первый кусок стоит 25 р., а второй — 21 р. Сравнивая эти результаты с прогнозируемыми, получаем, что каждый кусок стоит дешевле 36 р., но второй кусок дешевле первого, а должен быть дороже. Значит, в решении где-то допущена ошибка и резуль­тат найден неверно. Для обнаружения ошибки сначала проверяют­ся аычисления. Если в вычислениях ошибка не обнаружена, то можно провести решение заново. Можно, соотнося каждое дейст­вие с условием задачи и определив его смысл, проверить, пра­вильно ли выбраны действия.

2. Соотнесение полученного результата и условия задачи. Суть данного приема заключается в том, что найденный результат вводится в текст задачи и на основе рас­ суждений устанавливается, не возникает ли при этом противо­ речия.

Пусть при решении задачи: «Для посадки привезли 600 лип и 400 дубов. Их рассадили в ряды поровну. При этом лип получи­лось на 5 рядов больше, чем дубов. Сколько получилось рядов лип и дубов в отдельности?» — получено, что дубов посадили 10 рядов, а лип — 15 рядов.

Прочтем текст задачи, заменив в нем вопрос ответом на не­го: «Для посадки привезли 600 лип и 400 дубов. Их рассадили в ряды поровну. При этом лип получилось на 5 рядов больше, чем дубов. Лип получилось 15 рядов, а дубов — 10 рядов».

Установим, нет ли в этом тексте противоречия. Рассуждаем, например, так. В условии сказано: «Получилось лип на 5 рядов боль­ше, чем дубов». Сравним полученное число рядов лип с числом рядов дубов. Рядов лип — 15, рядов дубов — 10. 15 больше чем 10 на 5. Значит, это отношение выполняется.

Проверим другое отношение, имеющееся в задаче; условие равенства числа деревьев в каждом ряду. Для этого найдем число лип в одном ряду и число дубов в одном ряду: 600:15 = 40; 400:10 = 40. Это отношение тоже выполняется.

Проверены все отношения, имеющиеся в задаче, и установ­лено, что противоречия нет. Значит, задача решена верно.

3. Решение задачи различными способами. Пусть при решении задачи каким-либо способом получен не-- который результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача решена была верно.

Поясним сказанное на конкретном примере. Рассмотрим зада­чу: «Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А легковая машина догонит грузовую?»

Пусть решение данной задачи было осуществлено арифметиче­ским способом:

90-60 = 30 (км/ч)

60-2=120 (км) 58

120:30 = 4 (ч) 90-4 = 360 (км)

Ответ: легковая машина догонит грузовую на расстоянии

360 км от пункта А.

Чтобы проверить правильность полученного результата, мож­но решить эту задачу алгебраическим способом, т. е. составить уравнение x-90 = (x— 2)-60, где х ч— время движения легковой машины. Результат оказывается таким же, что и при арифмети­ческом решении. Значит, данная задача и арифметическим спосо­бом решена верно.

Заметим, что если задача решена первоначально арифмети­ческим способом, то правильность ее решения можно проверить не только решив эту задачу методом составления уравнения. Способом проверки в этом случае может быть и ее графическое решение, а также решение арифметическим способом, отличным

от первого.

Не следует также думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность решения обеспечивается прежде всего четкими и логичными рассуждениями и на всех других этапах работы над задачей.

Упражнения

1. Решите задачу и выполните проверку способом установле­ния соответствия результата условию задачи:

1. Спортсмен метнул копье в 5 раз, или на 48 м, дальше, чем толкнул ядро. Сколько метров пролетело копье и сколько ядро?

2. Двое рабочих различной квалификации выполнили совмест­но некоторую работу за 6 дней. Производительность первого ра­бочего на 20% больше производительности второго. За какое время второй рабочий мог бы выполнить всю работу?

2. Решите задачу различными способами:

1) Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль пройдет рас­ стояние от пункта А до пункта В за 3 ч 15 мин. За какое время пройдет автомобиль то же расстояние, если увеличит скорость на

15 км/ч?

2) За 4,5 м ткани заплатили 18 р. Сколько стоят 27 м такой же

ткани?