19. Этапы решения задач арифметическими способами. Приемы анализа содержания задачи

Решение текстовой задачи арифметическим способом — это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конк­ретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее в ней можно выделить несколько этапов:

1. Восприятие и анализ содержания задачи.

2. Поиск и составление плана решения задачи.

3. Выполнение плана решения. Формулировка вывода о вы­полнении требования задачи (ответа на вопрос задачи).

4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть. Формулировка окончательного вывода о выполнении требова­ния задачи или ответа на вопрос задачи.

Следует подчеркнуть, что в реальном процессе решения задачи отмеченные' этапы не имеют четких границ и - не всегда выпол­няются одинаково полно. Так, иногда уже при восприятии задачи решающий может обнаружить, что данная задача — известного ему вида и он знает, как ее решать. В этом случае поиск реше­ния не вычленяется в отдельный этап и обоснование, каждого шага при выполнении первых трех этапов делает необязатель­ной проверку после выполнения решения. Однако полное, логи­чески завершенное решение обязательно содержит все этапы. А знание возможных приемов выполнения каждого из этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправ­ленным, а значит, и "более успешным.

Основная цель первого этапа решения — понимание ре­шающим в целом ситуации, описанной в задаче, понимание условия задачи, ее требования или вопроса, смысла всех терминов и знаков, имеющихся в тексте.

Известно несколько приемов, применение которых способст­вует пониманию содержания задачи.

Прочитайте, например, такую задачу;

По дороге в одном и том же направлении идут два мальчи­ка. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как ско­рость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до то­го, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает со­бака со средней скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно

49

и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Ка­кое расстояние пробежит за все это время собака?

Разобраться в содержании этой задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задать специальные вопросы по тек­сту и ответить на них.

1. О чем эта задача? (Задача о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника скоростью, временем и пройденным расстоянием.)

2. Что требуется найти в задаче? (В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все это время.)

3. Что обозначают слова «за все это время»? (В задаче го­ворится, что собака бегает между мальчиками «с начала движе­ния до того, как второй мальчик догонит первого». Поэтому слова «за все это время» означают «за все то время с начала "движе­ния, в течение которого второй мальчик догонит первого».)

4. Что в задаче известно о движении каждого из участни­ков его? (В задаче известно, что: 1) мальчики идут в одном на­правлении; 2) до начала движения расстояние между мальчи­ками было 2 км; 3) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч; 5) скорость бега собаки 8 км/ч; 6) время движения всех участ­ников одинаково: это время от начала движения, когда расстоя­ние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчи­ков, т. е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.)

5. Что в задаче неизвестно? (В задаче неизвестно, в течение какого времени второй мальчик догонит первого, т. е. неизвестно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно рас­стояние, которое пробежала собака,— это требуется узнать в задаче.)

6. Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения? (Искомым является значение величины — расстояния, которое пробежала собака за общее для всех участни­ков время движения.)

Большую помощь в осмыслении содержания задачи и созда­нии основы для поиска решения задачи оказывает переформу­лировка текста задачи — замена данного в нем описания ситуа­ции другим, сохраняющим все отношения, связи и количествен­ные характеристики, но более явно их выражающим. Особенно эффективно использование этого средства в сочетании с разбие­нием текста на смысловые части.

Направления переформулировки могут быть следующие: отбрасывание несущественной, излишней информации; замена описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замена некоторых терминов описанием смысла соот­ветствующих понятий; переорганизация текста задачи в форму, удобную для поиска решения. Результатом переформулировки должно быть выделение основных ситуаций. Так, заметив, что

50

речь в приведенной выше задаче идет о движении, ее можно переформулировать следующим образом:

«Скорость первого мальчика 4 км/ч, а скорость догоняюще­го его второго мальчика 5 км/ч (первая часть задачи). Рас­стояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время ходьбы мальчиков — это время, в течение которого второй " мальчик догонит первого, т. е. в течение которого второй маль­чик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость бега собаки 8 км/ч. Время бега собаки равно времени ходьбы мальчиков до встречи. Требуется определить расстояние, которое

пробежала собака».

Рассмотрим еще такую задачу: «На двух полках книг было на 5 больше, чем на одной из них. Сколько книг было на другой

полке?»

После первого прочтения текста кажется, что в задаче не­достает информации о книгах на другой полке. Но попробуем переформулировать задачу, раскрыв смысл отношения «на 5 книг больше». Получим следующий текст: «На двух полках книг столько же, сколько на первой полке, и еще 5 книг. Сколько книг на другой полке?» Переформулируем текст еще раз, заменив в нем слова «на двух полках» словами «на первой и второй полках вместе»: «На первой и второй полках вместе книг столько, сколько на первой полке, и еще 5. Сколько книг на второй пол­ке?» Возможно и дальнейшее уточнение: «Количество книг на первой и второй полках вместе — это количество книг на первой полке и еще 5 книг. Сколько книг на второй полке?»

Из этого текста уже ясно, что 5 книг — это и есть книги на другой полке. Таким образом, в данном случае переформули­ровка привела не только к пониманию содержания задачи, но и (после выполнения несложных логических рассуждений) позво­лила ответить на вопрос задачи.

Время

Переформулированный текст часто бывает полезно записать схематически. Например, содержание первой задачи после форму­лировки можно записать в виде такой таблицы:

Скорость

? ? Одинаковое

? На 2 км больше

1-Й М. 4 КМ/Ч

2-й м. 5 км/ч Соб. 8 км/ч

Схематическая запись переформулированного текста может иметь и иной вид. Рассмотрим задачу: «Турист проехал 6 ч на поезде со скоростью 56 км/ч. После этого ему осталось ехать в 4 раза больше того, что он проехал. Сколько всего километров он должен был проехать?»

После переформулировки текст может иметь следующий вид:

51

«Турист ехал 6 ч по 56 км/ч, осталось проехать в 4 раза боль­ше. Требуется узнать весь путь».

Схематическую запись этой задачи можно выполнить так: Проехал — 6 ч по 56 км/ч 1

Осталось проехать — ?, в 4 раза больше / '

В приведенных записях отражены все ситуации, описанные в задаче, данные, известные, искомое и отношения между ними.

Важным средством анализа задачи является чертеж. Напри­мер, к последней задаче может быть выполнен такой чертеж (рис. 15):

Он наглядно отражает все связи и зависимости между величи­нами, что значительно облегчает поиск решения задачи.

Упражнения

I, Проанализируйте содержание нижеприведенных задач, за­дав специальные вопросы по тексту и ответив на них. Выпол­ните их схематическую запись. Решите задачи:

1. На путь по течению реки теплоход затратил 18 ч. Сколь­ко времени ему потребуется на обратный путь, если собственная скорость теплохода равна 26 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?

2. Мальчики полили 8 яблонь и 4 сливы и принесли 140 ве­дер воды. Сколько ведер воды вылили под яблони и сколько под сливы, если на поливку одной яблони уходит воды в 3 раза боль­ше, чем на поливку одной сливы?

3. Утром на току было 96,5 т пшеницы, к полудню на ток доставили пшеницу на трех машинах, по 4,5 т на каждой. Сколько

3 тонн пшеницы рсталось на току, когда -=- всей пшеницы отпра­вили на мельницу?

2." Разбейте текст задачи на смысловые части и переформу­лируйте его, выделив основные ситуации. Решите задачи:

1) Пионеры одной школы собрали 80 т металлолома, дру- гои g- этого количества. Из всего собранного лома изготови­ ли рельсы. Сколько получилось метров рельсов, если из каждых 10 т металлолома выходит 70 м рельсов? 52

2) В ящике 100 кг пшена. После того как из ящика насыпали 2 мешка, в нем осталось 10% всего пшена. Сколько пшена на­сыпали в каждый мешок, если в один из них насыпали в 2 раза меньше, чем в другой?

3. Выясните, какой способ записи переформулированного тек­ста (краткая запись, таблица, схематический чертеж) наиболее эффективен для определения плана решения задачи:

С аэродрома вылетел вертолет со скоростью 210 км/ч. Через 2 ч с этого же аэродрома вылетел самолет, который через 3 ч после своего вылета перегнал вертолет на 840 км. Найдите ско­рость самолета.