Тема 5. Механические колебания и волны

1. Точка совершает колебания по закону х = A sin  t. В некоторый момент времени смещение точки х = 5 см, скорость её

v = 20 см/с и ускорение а = - 80 см/с². Найти циклическую частоту и период колебания в рассматриваемый момент времени.

5.2. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания

с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы

Е = 10^-4Дж. Определить амплитуду А колебаний и максимальную

силу F_max, действующую на частицу.

3. Плоская волна распространяется со скоростью v = 20 м/с.

Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях х₁ = 12  м и

х₂ = 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз  =0,75. Определить длину волны и записать уравнение волны, если амплитуда колебаний А = 0,1 м.

3. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде:

х = sin 2,5 t см. Определить смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний для момента времени t = 1 c после начала колебаний, если скорость распространения волны v = 100 м/с.

5.5. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Определить фазу и амплитуду колебаний для момента времени, когда смещение точки х = 5 см, скорость её v = 20 см/с и ускорение а = - 80  см/с².

5.6. Начальная фаза колебаний точки _о =  /3, а период колебаний

Т = 0,06 с. Определить ближайшие моменты времени, в которые

скорость и ускорение в два раза меньше амплитудных значений.

5.7. Определить разность фаз между колебаниями двух точек среды, находящихся на расстоянии 10 см друг от друга, если в среде распространяется плоская волна вдоль линии, соединяющей эти точки. Скорость распространения волны v = 340 м/с, частота колебаний  = 1000 Гц.

8. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях , выражаемых уравнениями х = 2 cos t, см и

y = sin  t, см. Получить уравнение траектории движения точки и изобразить её графически.

8. Математический маятник длиной l₁ = 40 cм и физический

маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l₂ = 60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние “ а ” от центра масс стержня до оси колебаний.

5.10. Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течении времени t = 50 c тело потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент затухания  и коэффициент сопротивления r, приняв начальную энергию колебаний Е_о = 10 Дж, построить график зависимости Е =f (t).

11. Шар, радиус которого R = 5 см, подвешен на нити длиной

l_o = 10 см. Определить относительную погрешность, которую допускают, если при вычислении периода колебаний принимать его за математический маятник длиной l = 15 см.

5.12. Гиря массой m = 0,500 кг подвешена к пружине, жесткость которой к = 32 Н/м, и совершает гармонические колебания. Определить их период колебаний, если за n = 88 колебаний амплитуда их уменьшилась в N = 2 раза.

5.13. Точка совершает колебания по закону х = A sin  t , см. В некоторый момент времени смещение х₁ = 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась в 2 раза, смещение х₂ стало равным 8 см. Чему равна амплитуда колебаний?

5.14. Материальная точка массой m = 50 г совершает колебания по закону х = 10 cos 5t см. Определить силу, действующую на точку в двух случаях: 1) в момент времени, когда фаза  t =  /3 с^-1,

2) в положении наибольшего смещения точки.

5.15. Диск радиусом R = 24 см, колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период колебаний Т такого маятника.

5.16. Колебания материальной точки происходят согласно уравнению х = 8 cos ( t/6), cм. В момент, когда возвращающая сила F в первый раз достигла значения -5 мН, потенциальная энергия её составила 100 мкДж. Определить этот момент времени t и соответствующую ему фазу  t.

5.17. Плоская звуковая волна имеет период Т = 3 мс, амплитуду

А = 0,2 мм и длину волны  = 1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние х = 2 м, найти: 1) смещение в момент времени t = 7 мс; 2) скорость и ускорение для того же момента времени. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

5.18. Физический маятник представляет собой тонкий стержень, подвешенный за один из концов. 1) При какой длине стержня период колебаний этого маятника будет равен 1 с? 2) Чему равен период колебаний Т при длине стержня в 1 м?

5.19. За время t = 16,1 с амплитуда уменьшилась в 5 раз. Чему равен коэффициент затухания? За какое время амплитуда колебаний уменьшится в е раз?

5.20. За время t = 100 с частица совершает 100 колебаний. За тоже время амплитуда колебаний уменьшается в 2,72 раза. Чему равны :

1) коэффициент затухания  ;

2) логарифмический декремент затухания ?

5.21.Частица колеблется вдоль оси х по закону х = 0,100 sin 2p t. Найти среднее значение модуля скорости <v> :

1. за период колебаний Т;

2. за первую 1/8 Т.

5.22. Груз массой 2 кг совершает гармонические колебания по закону х =50 sin (p t /3), мм . Определить амплитуды смещения, скорости, ускорения, силы и полную энергию колебаний груза.

5.23.Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону синуса. Через какое время он первый раз отклонится от положения равновесия на расстояние равное одной трети амплитуды, если период колебаний Т = 2 с, а начальная фаза _о = p/18?

5.24. Начальная фаза колебаний точки, происходящих по синусоидальному закону, j_о = p /3. Период колебаний Т = 0,06 с. Определить ближайшие моменты времени, в которые скорость и ускорение будут в два раза меньше амплитудных значений.

25. Под действием силы F = А cos  t движется тело массой m. Найти выражение для кинетической энергии тела и определить максимальное значение кинетической энергии, считая начальную скорость v_о = 0.

25. Тело движется под действием силы F =f cos  t по закону х = с sin  t. Найти работу силы F за время одного периода и среднюю мощность за этот же период.

25. На тонкой нити длиной L подвешен шар радиуса R = 0,1L. Определить относительную погрешность в определении периода колебаний, если маятник считать математическим.

25. Два одинаково направленных колебания одного периода с амплитудами А₁ = 10 см и А₂ = 6 см складываются в одно колебание с амплитудой А = 14 см. Определить разность фаз  складываемых колебаний.