Тема 4. Динамика вращательного движения

4.1. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁ = 120 г и m₂ = 130 г. С каким ускорением будут двигаться грузики, если масса блока m₃ = 300  г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

4.2. Маховик, имеющий форму диска, массой 35 кг и диаметром 60 см через 3 с после включения мотора приобретает угловую скорость

480 об/мин. Каков вращающий момент, действующий на маховик, если момент сил трения в подшипниках 0,2 Нм? Определить также угловое ускорение и число оборотов, совершенных маховиком за эти 3 с .

4.3. Маховик массой М = 24 кг и радиусом R = 0,5 м, вращаясь равнозамедленно при торможении, уменьшил за 1 мин скорость вращения от 400 до 200 об/мин. Найти угловое ускорение маховика и тормозящий момент.

4.4. На покоящейся круглой платформе массой 2 т и радиусом 3 м находится человек массой 60 кг. Платформа может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек будет бежать по окружности радиусом 2 м, концентричной платформе, со скоростью

2,5 м/с относительно платформы?

4.5. Стержень массой m =0,6 кг и длиной L = 1 м вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению  2t ² + 0,2t ³. Определить вращающий момент, действующий на стержень через время

t = 2 с после начала движения.

4.6. Шар массой m = 5 кг и радиусом R = 15 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид  Bt ² + C t ³, где B = 5 рад/с²; C = -1 рад/с³. Определить момент сил М в момент времени t = 2 с.

4.7. Шарик массой m = 60 г, привязанный к концу нити длиной

L₁ = 1,2 м, вращается с частотой  = 2 с^-1, нить наматывается на горизонтальную ось, приближая шарик к оси до расстояния L₂ = 0,6 м. С какой частотой будет при этом вращаться шарик? Какую работу совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

4.8. Однородный тонкий тяжелый стержень длиной L = 0,92 м висит на горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Какую начальную угловую скорость _о надо сообщить стержню, чтобы он повернулся на 90⁰?

4.9. Два цилиндра с одинаковыми массами m и радиусами R (один сплошной, второй полый) скатываются с наклонной плоскости высотой h и длиной L. В каком соотношении находятся скорости цилиндров у основания плоскости?

4.10. Вал из состояния покоя приводится во вращение вокруг горизонтальной оси с помощью груза, подвешенного на шнуре, предварительно намотанным на вал. Определить момент инерции вала, если груз массой m = 2 кг в течении t = 12 с опускается на расстояние

h = 1  м. Радиус вала R = 8 мм. Силой трения пренебречь.

4.11. С какой скоростью должен въехать велосипедист в нижнюю точку ” мертвой петли” радиусом R = 4 м, чтобы не сорваться вниз, если масса велосипедиста с велосипедом М = 90 кг, масса обоих колес m = 6 кг. Трением пренебречь, колеса считать обручами.

4.12. Человек, стоящий на горизонтальной вращающейся платформе, укрепленной на шариковом подшипнике, держит на вытянутых руках две гири массой по 10 кг. Расстояние от гирь до оси вращения площадки в этом случае равно 80 см. Затем гири придвигаются к плечам, оказываясь теперь на расстоянии 30 см от оси вращения. Какую работу нужно совершить при приближении гирь, если первоначальная скорость вращения 0,5 об/с и известно, что момент инерции тела человека эквивалентен моменту инерции материальной точки массой 60 кг, расположенной от оси вращения на расстоянии 10 см?

4.13. Тонкий стержень, имеющий ось вращения, проходящую через его торец, отклонили на угол 90^о и отпустили. Чему равна угловая скорость и кинетическая энергия стержня в момент прохождения им вертикального положения? Масса стержня m = 2 кг, длина L = 1,2 м.

4.14. Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой ₁ = 0,1 с^-1. На краю платформы стоит человек, масса которого равна 80 кг. С какой частотой ₂ будет вращаться платформа, если человек перейдет в её центр? Момент инерции платформы равен J_пл = 120 кг/м². Момент инерции человека J рассчитывать как для материальной точки.

4.15. Горизонтальная платформа массой 100 кг в виде диска вращается, делая 10 об/мин, вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. Человек массой 60 кг стоит на краю платформы. Какую работу совершит человек при переходе от края платформы к её центру? Радиус платформы равен 1,5 м.

4.16. Столб высотой h = 3,00 м из вертикального положения падает на землю. Определить момент импульса столба L относительно точки опоры и скорость верхнего конца столба v в момент удара о землю. Масса столба m = 50,0 кг.

4.17. Грузы массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через блок в виде диска массой m₃ = 2 кг (рис. 9). Найти линейное ускорение движения грузов. Трением пренебречь.

4.18. Шар и цилиндр, двигаясь с одинаковой скоростью, вкатываются вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимется выше? Найти отношение высот подъема.

4.19. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения от времени дается уравнением  t. Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.

4.20. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси ОО (рис. 10). Уравнение движения имеет вид  A +Bt ² + C t ³, где В = 4 рад/с² ;

С = -1 рад/с³. Найти момент сил М в момент времени

t = 1 с.

4.21. На ворот колодца намотана веревка, к которой подвешено ведро. За какое время ведро долетит до воды, если масса ведра с водой 10 кг, ворот выполнен в виде цилиндра массой 20 кг, радиусом 0,2 м. Расстояние от подвешенного ведра до воды 10 м.

4.22. На барабан массой m₁ = 5 кг и радиусом R = 20 см намотан шнур, к которому привязан груз массой m₂ = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом Н = 1 м. Определить через какое время груз опустится до пола и силу натяжения нити.

4 .23. Свободно висящий неподвижный стержень длиной L = 1 м и массой M = 0,5 кг может вращаться в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси, проходящей через т. О (рис. 11). В другой его конец попадает пластилиновый шарик массой m = 20 г, летящий со скоростью v = 10 м/с, и прилипает к нему. Найти линейную скорость конца стержня и угловую скорость системы после взаимодействия.

4.24. Человек массой m₁ = 60 кг стоит на краю горизонтальной платформы в виде диска. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет по краю платформы и вернется в исходную точку? Масса платформы m₂ = 240 кг. Момент инерции человека считать как для материальной точки.

4.25. Человек массой m₁ = 80 кг стоит на краю платформы в виде диска радиусом R = 2 м и массой m₂ = 240 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек начнет двигаться со скоростью v = 2 м/с относительно платформы вдоль её края? Момент инерции человека считать как для материальной точки.

4.26. С какой наименьшей высоты Н должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму мертвой петли радиусом R = 4 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m₁ = 90 кг , причем на массу колес приходится m₂ = 6  кг. Колеса считать обручами.

4.27. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью _4 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 5 кг /м². Длина стержня L = 1,8 м, масса m₂ = 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

4.28. К ободу покоившегося колеса массой m = 5 кг и радиусом R = 40 см, закрепленного на вертикальной оси, приложена касательная сила. Через время t = 6 с колесо достигает угловой частоты 360 об/мин. Определить величину силы, считая массу колеса распределенной по ободу, угловое ускорение и число оборотов, сделанных колесом за эти 6 с. Трением пренебречь.