3. Двойственная задача к задаче планирования торговли

Каждой задаче линейного программирования можно сопоставить другую задачу, называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой. Составим двойственную задачу к задаче планирования товарооборота (2.1) + (2.3), которую будем называть прямой.

Обозначим Y ( i= 1,m ) – двойственная оценка ( неявная стоимость) еденицы i-го ресурса .Тогда двойственная задача к задаче планирования торговли формируется следующим образом.

Требуется определить оценку еденицы каждого вида ресурса, чтобы при заданных объемах ресурса b , нормах их расхода a и показатели прибыли C , общая стоимость ресурсов, затраченных на организацию торгового процесса , была бы минимальной.

Запишем математическую модель двойственной задачи к задаче линейного программирования (2.1)+ (2.3).

Определить Y = ( Y, Y , ... , Y ) , который удовлетворяет условиям

∑ a · y ≥ c , j = 1,n , (3.1)

y ≥ 0 , i = 1,m (3.2)

и доставляет минимальное значение целевой функции

F (Y) = ∑ b ·y →min (3.3)

Ограничения (3.1) показывают , что оценка (стоимость) всех ресурсов, затраченных на продажу еденицы j группы товаров, должна быть не меньше прибыли, получаемой от продажи еденицы j группы товаров, а общая стоимость всех ресурсов (3.3) должна быть минимальной.

Задачи (2.1) + (2.3) и ( 3.1) + (3.3) представляют симметричную пару двойственных задач, так как системы ограничений заданы неравенствами и на переменные X и Y накладывается условие неотрицательности.

Для симметричной пары задач двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам.

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче.

2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой путем транспонирования.

3. Если система ограничений прямой задачи задана неравенствами смысла «≤» , то система ограничений двойственной задачи записывается неравенствами смысла « ≥» .

4. Свободными членами, системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты функции цели прямой задачи.

5. Если целевая функция прямой задачи задается на максимум, то целевая функция двойственной задачи – на минимум.

6. Коэффициентами функции цели двойственной задачи являются свободные члены системы ограничений прямой задачи.

7. На каждую переменную двойственной задачи накладывается условие неотрицательности.

Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Однако при определении оптимального плана одной из задач находится решение и другой задачи.

Сущестсвующие зависимости между решениями прямой и двойственной задач характерезуется теоремами двойственности .

Теорема1.

Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планавх равны между собой , т.е.

_{̲ ̲}

L (X ^*)_max=F (Y*)_min

Теорема 2.

_{̲ ̲}

План прямой задачи X^* и план двойственной задачи Y^* являются оптимальными

только тогда, если для любого

_{͟ ͟}

i ( i=1,m) и j ( j=1,n ) выполняются равенства:

n

( ∑ a _ij ·x_j^* −b_i ) · Y_i^* =0 ,

j=1

( 3.4)

m

( ∑ a_ij · y _i^* − c_j ) ·X _j* =0.

i=1

Из (3.4) следует ,что для оптимальных планов пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

n

1. если для некоторого i ∑ a _ij ·x_j^* < b_i , то Y_i^* = 0;

j=1

m

2.если для некоторого j ∑ a_ij · y _i^* > c_j , то X _j*=0.

i=1

Теорема 3.

͟

Если исходная задача имеет оптимальный план X^* , то оптимальный план двойственной задачи можно определить с помощью следующего соотношения:

_̲

Y*=С_σ А^-1 (3.5)

где С_σ- коэффициенты целевой функции базисных переменных, вошедших в оптимальный план исходной задачи;

А^-1- обратная матрица к матрице, составленной из векторов, вошедших в оптимальный план.

Таким образом, если найти оптимальный план исходной задачи, то используя соотношение (3.5) можно определить оптимальный план двойственной задачи. Поскольку в системе уравнений исходной задачи (2.4) среди векторов А_ϳ (ϳ=I, n+m) имеются m единичных, то матрица А^-1 расположена в первых m строках оптимальной симплексной таблицы в столбцах единичных векторов. Тогда нет необходимости определять оптимальный план двойственной задачи умножением С_σ на А^-1, поскольку компоненты этого плана совпадают с соответствующими элементами индексной (m+I)-й строки столбцов единичных векторов.

ПРИМЕР

В качестве прямой задачи используем задачу (2.7)+(2.9), которая решена симплексным методом. Составим к данной задаче двойственную и запишем её оптимальный план.

Требуется определить Y=(Y₁, Y₂, Y₃), который удовлетворяет условиям

2 Y₁+3Y₂+2Y₃≥14,

Y₁+3Y₂+Y₃≥6, (3.6)

6Y₁+9Y₂+2Y₃≥22,

Y₁≥0, Y₂≥0, Y₃≥0. (3.7)

и доставляет минимальное значение целевой функции

F(Y)= 240Y₁+540Y₂+120Y₃ →min (3.8)

Задачи (2.7)+ (2.9) и (3.6) + (3.8) образуют симметричную пару двойственных задач. Решение прямой задачи определяет оптимальный объем и структуру товарооборота торгового предприятия, а решение двойственной – оптимальную систему оценок ресурсов , используемых для реализации товаров.

Установим сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач . В первой строке запишем переменные X _j по порядку номеров ( сначала основные, затем- дополнительные ) , во второй строке – переменные двойственной задачи , оптимальные значения которых получены в индексной ( m + 1) – й строке таблицы 3.3.

1. X₁ X₂ X₃ X₄ X₅ X₆

основные дополнительные

2 . Y₄ Y₅ Y₆ Y₁ Y₂ Y₃

дополнительные основные

Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получаем решение двойственной, не решая ее , и наоборот.

Таким образом , оптимальный план двойственной задачи ( см. таблицу 3.3) к задаче планирования товарооборота равен :

̲ _̲

Y^* (2,0,5,0,1,0,), F (Y^*)=1080.

Анализ оптимального плана двойственной задачи

В оптимальном плане условные двойственные оценки еденицы ресурсов 1 и 3 видов отличны от нуля (Y^*₁= 2; Y^* ₃= 5). Ресурсы 1 и 3 видов в оптимальном плане прямой задачи используются полностью, так как дополнительные переменные X^*₄ = X^*₆=0.

Двойственная оценка еденицы ресурса 2 вида равно нулю Y^*₂=0. Этот вид ресурса не полностью используется при оптимальном плане реализации товаров (X^*₅ = 180)

Таким образом, двойственные оценки в оптимальном плане больше нуля у тех видов ресурсов, которые полностью используются при реализации товаров. Поэтому данные увеличения количества соответствующего вида ресурса на единицу. Например увеличение ресурса 3 вида на 1 м² приведет к получению нового оптимального плана, при кот ором прибыль от реализации товаров возрастет на 5 тыс. руб. и станет равной: 1080+5 =1085 тыс. руб. При этом коэффициенты, стоящие в столбце переменной X₆ таблицы 3.3, показывают, что указанное увеличение прибыли достигается за счет увеличения продажи товаров 1 группы на 3/4 ед., уменьшения продажи товаров 3 группы на 1/4 ед.. Аналогично можно найти новый оптимальный план товарооборота при изменении дефицитного ресурса 1 вида.

При постановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи (3.6.) получаем:

2·2 + 3·0 + 2·5=14,

2·1+ 3·0 + 1·5 > 6,

6·2 + 9·0+ 2·5 =22.

Второе ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство. Это означает, что двойственная оценка ресурса, используемого для реализации единицы товара ΙӀ группы, выше прибыли. Следовательно, продавать товары ΙӀ группы невыгодно и их продажа не предусмотрена оптимальным планом прямой задачи x₂̽= 0. Первое и третье ограничение двойственной задачи являются равенствами. Это означает, что двойственные оценки ресурса, используемого для продажи единицы товара Ι и ӀΙӀ групп, равны в точности прибыли, получаемой от их реализации. Поэтому продажа данных групп товаров экономически целесообразна и предусмотрена оптимальным планом прямой задачи.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (№70+138)

Используя вариант контрольного задания «70 + 138, необходимо:

- к прямой задаче планирования товарооборота составить двойственную (записать математическую модель);

- используя оптимальный план прямой задачи, установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач;

- согласно сопряженным парам переменных из оптимального плана прямой задачи записать оптимальный план двойственной задачи и дать анализ двойственных оценок.