МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет имени М.Т.Калашникова»

(ФГБОУ ВПО «ИжГТУ имени М.Т.Калашникова»)

Факультет «Менеджмент и маркетинг»

Кафедра « Экономика, технология и управление коммерческой деятельностью»

Методические указания

к проведению практических занятий

по дисциплине " Коммерческая математика"

для студентов специальностей 080300, 080301 "Коммерция" (торговое дело) дневной и заочной форм обучения

Ижевск, 2013 г

Методические указания к проведению практических занятий по дисциплине " Коммерческая математика",

Автор: к.э.н., доцент О.Е. Маратканова

Научный редактор: к.э.н., доцент И.Б. Иванова

Методические указания предназначены в помощь студентам при выполнении заданий по дисциплине “Коммерческая математика”

специальностей 080300, 080301 "Коммерция" (торговое дело) дневной и заочной форм обучения

Рекомендовано к изданию на заседании кафедры "Экономика, технология и управление коммерческой деятельностью” (ЭТ и УКД) протокол № от 2013г.

Зав. кафедрой

к.э.н., доцент Г.Е. Калинкина

1. Введение.

Применение математики в экономике позволяет совершенствовать экономические и плановые расчеты. Кроме того, использование ЭВМ в экономических расчетах при решение задач выбора ( принятия решений ) возможно только на основе широкого применения математических методов .

Цель преподавания раздела «Линейное программирование» (ЛП) в курсе « Математика в экономике» - ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для анализа процессов и явлений в ходе поиска оптимальных решений практических задач в экономических исследованиях, обучение методам обработки и анализа результатов эксперимента, развить логическое мышление и уровень математической культуры.

Содержание данного раздела включают изучение ряда наиболее важных экстремальных задач и методов их решения. Цель настоящих методических указаний- оказать помощь студентам заочного обучения в изучении основ экономико-математического моделирования, показать необходимые практические навыки по применению математических методов в построении моделей связи экономических показателей задач торговой практики и на их основе научного обоснования выбора управленческих решений.

Линейное программирование является базовым разделом для изучения курса «Экономико-математические методы и модели в планировании потребительской кооперации», а так же специальных дисциплин на выпускающих кафедрах, включая курсовые работы и дипломные проекты.

Учебным планом по изучению раздела ЛП предусмотрены выполнение одной контрольной работы и сдача зачета.

2. ПЕРЕЧЕН Ь РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акулич И.Д. Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1993.

2. Ашманов С. А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

3. Банди Б. Основы линейного программирования. М.: Радио и связь, 1989.

4. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. М.: Высшая школа, 1967.

5. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

6. Кузнецов Ю.И. , Кузубов В.И. , Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980.

7. Методические указания по курсу « Математическое программирование» ( раздел «Линейное программирование» ). М.: МКИ, 1988.

8. Мухачева В.А. , Рубинштейн Г.Ш. Математическое программирование. Новосибирск: Наука, 1987.

3. ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ И ВЫПОЛНЕНИЯ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Для выполнения контрольной работы студенту необходимо ознакомиться с методическими указаниями и контрольными заданиями. При изучении студент должен пользоваться рекомендуемой литературой, материалами устных и письменных консультаций, закрепляя усвоение каждой темы решением практических задач.

Студент, завершивший самостоятельное изучении дисциплины, должен выполнить одну контрольную работу и выслать ее на проверку в университет в срок, указанный в учебном графике.

К самостоятельному изучению предлагаются следующие темы.

1.Решение задачи линейного программирования на основе ее геометрической интерпретации (графический метод ).

2. Моделирование экономических процессов торгового предприятия и реализация моделей симплексным методом.

3. Теория двойственности. Двойственная задача к задаче планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным симплексным методом.

4. Транспортная задача в матричной постановке. Построение первого опорного плана. Нахождение оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов.

По указанным темам студенты выполняют контрольную работу и сдают зачет.

Задачи контрольной работы студент должен выбирать в соответствии с шифром специальности и вариантом, состоящим из четырех задач. Номера задач определяются в соответствии с таблицей 1 по первым буквам фамилии, имени, отчества. Например, студент экономического факультета ( шифр специальности 06.08) Кузнецов Владимир Михайлович выполняет следующие номера задач: 56, 118, 196, 265.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного. В тетради необходимо оставлять поля для замечаний рецензента. На титульном листе тетради должны быть ясно написаны наименование раздела математики ( Линейное программирование ), название факультете, курс, специальность, номер зачетной книжки, фамилия, имя, отчество, точный почтовый адрес и дата отправки работы в университет.

В начале работы должны быть указаны номера задач, выполненных в контрольном задании. Решение задач следует располагать в порядке возрастания номеров, указанных в варианте задания.

Перед решением каждой задачи надо полностью записать ее условие . Решение задач должно включать развернутые расчеты и краткие пояснения к ним, экономический анализ полученных результатов. Все вычисления производить с точностью до 0,01.Решение задач симплексным и двойственным симплексным методами производить в симплексных таблицах, используя простые дроби. В конце контрольной работы привести список

использованной литературы и поставить \свою подпись.

Таблица 1.

Первые буквы	Номера задач для контрольной работы по первым буквам фамилии, имени, отчества для студентов специальностей
	06. 04			06.05			06.08
	Фамилия	Имя	Отчество	Фамилия	Имя	Отчество	Фамилия	Имя	Отчество
А	1	70	139, 208	24	93	162, 231	47	116	185,254
Б	2	71	140, 209	25	94	163, 232	48	117	186,255
В	3	72	141, 210	26	95	164,233	49	118	187,256
Г	4	73	142, 211	27	96	165,234	50	119	188,257
Д	5	74	143, 212	28	97	166,235	51	120	189,258
Е	6	75	144, 213	29	98	167,236	52	121	190,259
Ж	7	76	145, 214	30	99	168,237	53	122	191,260
З	8	77	146, 215	31	100	169,238	54	123	192,261
И	9	78	147, 216	32	101	170,239	55	124	193,262
К	10	79	148, 217	33	102	171,240	56	125	194,263
Л	11	80	149, 218	34	103	172,241	57	126	195,264
М	12	81	150, 219	35	104	173,242	58	127	196,265
Н	13	82	151, 220	36	105	174,243	59	128	197,266
О	14	83	152, 221	37	106	175,244	60	129	198,267
П	15	84	153, 222	38	107	176,245	61	130	199,268
Р	16	85	154, 223	39	108	177,246	62	131	200,269
С	17	86	155, 224	40	109	178,247	63	132	201,270
Т	18	87	156, 225	41	110	179,248	64	133	202,271
У Ф	19	88	157, 226	42	111	180,249	65	134	203,272
Х Ц	20	89	158, 227	43	112	181,250	66	135	204,273
Ч Ш	21	90	159, 228	44	113	182,251	67	136	205,274
Щ Э	22	91	160, 229	45	114	183,252	68	137	206,275
Ю Я	23	92	161, 230	46	115	184,253	69	138	207,276

Если рецензент предлагает в работе переделать ту или иную задачи или дать более обоснованное решение, то это следует выполнить в краткий срок. При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензируемая работа и рецензия к ней.

В процессе выполнения контрольной работы студент может получить на кафедре устную или письменную консультацию.

Допущенную к защите контрольную работу вместе с рецензией на нее студент должен представить на зачет. Студент, не выполнивший контрольную работу, к зачету не допускается.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНЕНИЮ ЗАДАЧ И ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

1. Графический метод решения задачи линейного программирования

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

n

L(X) = ∑ c_j·x_j→max (1.1)

j=1

При условиях

n _̲

∑ a_{ij ·} x_j≤ b_i , (i=1,k) ; (1.2)

j=1

n _̲

∑ a_{ij ·} x_j= b_i , (i=k+1,m) ; (1.3)

j=1 _̲

x_j≥0 , (j=1,l; l≤n) (1.4)

Где a_ij , b_{i ,} c _j -заданные постоянные величины и к ≤m.

О пределение 1.

Функция (1.1) называется целевой функцией ( или линейной формой ) задачи (1.1)-(1.4), а условия (1.2)-(1.4) – ограничениями данной задачи.

О пределение 2.

Стандартной (или симметричной ) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (1.1) при выполнении условий (1.2) и (1.4), где к =m и l=n.

О пределение 3.

Канонический (или основной ) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (1.1) при выполнении условий (1.3) и (1.4) , где к =0 и l =n.

О пределение 4.

_̲

Совокупность чисел X =(X_1,X_2, ..., X_n) , удовлетворяющих ограничениям задачи (1.2) (1.4), называется доступным решением (или планом) .

О пределение 5.

_{̲ ̲} ̲ _̲

План X^* =(X₁^* , X₂^* , ... , X_n^*) , при котором целевая функция задачи ( 1.1) принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

В случае, когда требуется найти минимум _̲функции (1.1) _̲, можно решать задачу на максимум целевой функции, так как minL(X) = −max (−L(X)).

Ограничения исходной задачи линейного программирования, имеющее вид неравенства «≤», преобразуется в равенство добавлением его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничения вида «≥» - вычитанием из его левой части дополнительной неотрицательной переменной.

Если ограничения исходной задачи отражают расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной равно объему соответствующего неиспользуемого ресурса.

Запишем основную задачу линейного программирования в векторной форме : найти максимум функции

L=CX (1.5)

При условиях

X₁·A₁+ X₂ ·A₂ + ...+ X_n·A_n=A₀ (1.6)

X ≥ 0,

_̲

Где С=( С₁,С₂, … , С_n), X =( X₁ ,X₂, ... , X_n);

CX- скалярное произведение ;

А₁, А ₂,…, А_n и А₀–m-мерные векторы-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы уравнений задачи.

b₁ a₁₁ a_1n

А₀ = b₂ ; A = a₁₂ ; ... ; A = a_2n

⁞ ⁞ ⁞ .

b_m a_m1 a_mn

О пределение 6.

_̲

План X=( X_1,X_2, ... , X_n) называется опорным планом основной задачи линейного программирования, если система векторов А _j , входящих в разложение (1.6) с положительными коэффициентами X _j,линейно не зависима.

Так как векторы А_j являются m-мерным, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать m.

О пределение 7.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно m положительных компонент, в противном случае – план вырожденный.

Свойства основной задачи линейного программирования (1.5)+ (1.7) тесным образом связаны со свойствами выпуклых множеств.

О пределение 8.

Множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую комбинацию.

Геометрический смысл этого определения состоит в том, что множеству вместе с его двумя произвольными точками полностью принадлежит и прямолинейный отрезок, их соединяющий. Примерами выпуклых множеств являются прямолинейный отрезок, полуплоскость, круг, шар, куб, полупространство и др.

О пределение 9.

Точка X выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации двух других различных точек данного множества.

Например, угловыми точками треугольника являются его вершины, круга, - точки окружности, которая его ограничивает.

Теорема 1

Множество планов основной задачи линейного программирования является выпуклым (если оно не пусто) .

Непустое множество планов называется многогранником решений, а всякая угловая точка многогранника решений- вершиной.

Теорема 2

Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то максимальное значение целевая функция задачи принимает в одной из вершины многогранника решений. Если максимальное значение достигается более чем в одной вершине, то целевая функция принимает во всякой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин.

Теорема 3

Если система векторов А₁ , А₂ , … , А_k (к ≤ n) в разложении (1.6) линейно не зависима и такова, что

X_1·A₁+ X_2·A₂+... + X_k·A_{k =} A_{0 ,} (1.8)

_̲

Где все X _j ≥ 0 , то точка X = ( X₁ ,X ₂ , ... , X _k, 0,... ,0) является вершиной многогранника решений.

Теорема 4

_̲

Если X= ( X ₁ , X ₂, ... , X_n ) – многогранника решений, то векторы А , соответствущие положительным X в разложении (1.6), линейно не зависимы.

Сформулированные теоремы позволяют сделать следующий вывод.

Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образуют выпуклый многогранник, каждая вершина которого определяет опорный план. Для одного из опорных планов (одной из вершин многогранника решений) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множество планов).

Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме основной, содержит не более двух переменных, т.е.

_̲

L(X)=C₁ ∙X₁ + C₂∙ X₂

( 1.9)

при условиях

_̲

a_i1 ∙ x₁+ a _i2 ∙x₂ ≤ b_i , (I= 1,k); (1.10)

x ≥0, (j=1,2) (1.11)

Каждое из неравенств (1.10), (1.11) системы ограничений задачи геометричеки определяет полуплоскость допустимых значений переменных соответственно с граничными прямыми

A_i1 x₁ + a_i2 x₂ =b_i ( i=1,k), x₁ =0, x₂ =0.

Если система неравенств (1.10),(1.11) совместна, то областью допустимых решений задачи является выпуклое множетсво, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств. Для определения вершины многоугольника решений, в которой функция принимает максимальное значение, необходимо построить линию ( начальную прямую) C₁ X ₁+ C₂ X₂ =0, проходящую через начало координат на плоскости X₁ O X₂ , и передвигать ее в

_̲

направлении вектораN = (C₁ ,C₂ ) до тех пор, пока она не пройдет через последнюю общую точку с многогранником решений. Координаты указанной точки определяют оптимальный план данной задачи.

Таким образом, решение задачи линейного программирования графическим методом включает следующие этапы.

1. На плоскости X₁ O X₂ строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (1.10) и (1.11) знаков неравенств на знаки точных равенств.

2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

3. Находят многоугольник решений.

_̲

4. Строят вектор N=(C₁ , C₂ ), направление которого указывает на возрастание целевой функции.

5. Строят начальную прямую C₁ X₁ +C₂ X ₂=0,проходящую через начало координат.

6. Передвигают начальную прямую в направлении вектора до положения прямой ( до крайней угловой точки многоугольника решений).В результате находят точку, в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо множество точек с одинаковым максимальным значением целевой функции, если начальная прямая сливается с одной из сторон многоугольника решений, либо устанавливается неограниченность сверху функции на множество планов

( L(X)→∞).

7. Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значений целевой функции в этой точке.

Нахождение минимального значения целевой функции отличается от нахождения ее максимального значения при данной системе ограничений тем, что начальная прямая передвигается в направлении, противоположном вектору N.

Если максимум (или минимум ) целевой функции достигается на отрезке АВ многоугольника решений , то необходимо определить координаты угловых точек А и В

( ) и вычислить значение целевой функции в этих точках. При этом L( X) = L(X) и множество оптимальных планов можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек отрезка АВ:

0 ≤ α ≤ 1.

Пример.

Найти максимум и минимум линейной функции L(X)=− 2X + 8 X →extr при условиях:

5X − X ≥ 0,

5X + 2X ≥ 10,

X − 4X ≤ 4 ,

X + X ≤6,

X ,X ≥0.

Построим на плоскости X O X многоугольник допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.

5X −X =0, (1)

5X + 2X =10 , (2)

X −4X =4 , (3)

X + X =6, (4)

X =0, (5)

X =0. (6)

Построив полученные граничные прямые, найдем соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечение (рис.1.1).

Многоугольником допустимых решений задачи является пятиугольник АВСДЕ , координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.

_̲

Для нахождения точек экстремума построим начальную прямую L(X ) =0=−2X₁ + 8X 2 и

_̲

вектор N = (−2,8). Передвигая начальную прямую параллельно самой себе в направлении

_̲

вектора N , найдем точку Д, в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой. Следовательно, в точке Д целевая функция принимает максимальное значение Так как точка Д получена в результате пересечения прямых (1) и (4) , то для определения ее координат решим систему уравнений:

5X₁ − X₂ =0 ,

X₁ + X₂ =6.

Решив систему уравнений, получим:X^*₁ =1, X^*₂ =5;

̲

L(X )=(−2)∙1+8∙5=38.

Для нахождения минимального значения целевой функции задачи начальную

_̲

прямую перемещаем в направлении, противоположном вектору N . Как видно из условии задачи, начальная прямая параллельна прямой (3) ,так как коэффициенты при переменных X и X пропорциональны (−2/1=8/−2).Поэтому начальная прямая займет положение опорной прямой в точках А,Е и в любой точке отрезка АЕ , в которых целевая функция принимает одно и тоже минимальное значение. Для определения координат угловых точек А и Е решим системы двух линейных уравнений:

1 . X −4X =4, 2. X − 4X = 4,

X =0. X + X =6.

В результате получим:

X₁^(A) =4, X₂^(A) =0 , L( X )_{в т.А} =(−2) ∙ 4 +8∙0= −8;

X₁^(Е) =28/5, X₂^(Е) =2/5 , L(X ) _{в т.}Е = (−2)∙28/5+ 8∙2/5= −8.

Выразим координаты любой точки отрезка АЕ через координаты угловых точек, т.е. запишем множество минимальных решений:

X =α∙X

КОНТОРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ( № 1+ 69)

П остроить на плоскости область решений системы линейных неравенств и найти максимальное и минимальное значение линейной функции в этой области.

1. 8X₁+3X₂ ≥ 24, 2. 3X₁ + X₂ ≥ 3 _,

3X₁+7X₂≤ 21, 3 X₁ +4 X₂ ≤ 24,

X₁−10X₂ ≤ 0, 5 X₁ −12 X₂ ≤ 20,

0≤ X₁≤5, 7 X₁ − X₂ ≥ 0,

X₂ ≥ 0. X₁ ≥ 0 ,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = −2 X₁ +20 X₂ →extr L(X) = 15X₁ +5 X₂ →extr

3. . 4X₁+3X₂ ≤ 24, 4. 5X₁ + 9X₂ ≤ 3 _,

X₁−X₂≤ −3, 3 X₁− 4 X₂ ≥ ,

3X₁−5X₂ ≤ 6, 5 X₁ + 12 X₂ ≥ −6,

0≤ X₁≤3, 0≤ X₁ ≤ 7,

X₂ ≥ 0. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = −2 X₁ +2 X₂ →extr L(X) = −3 X₁ +18X₂ →extr

5. 2X₁+7X₂ ≥ 14, 6. 4X₁ + X₂ ≥ 5 _,

X₁+X₂≤ 9, X₁− 7X₂ ≤ 0 ,

6X₁−X₂ ≥ 0, 9X₁ + 5 X₂ ≥ −6,

X₁ ≥ 0, 0≤ X₁ ≤ 4,

0≤ X₂ ≤ 5. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = −3 X₁ + 0,5X₂ →extr L(X) = 18 X₁ +10X₂ →extr

7. X₁−2X₂ ≤ 0, 8. 9X₁ +7 X₂ ≤ 63 _,

3X₁ − X ₂≥ − 3, − 2X₁+3X₂ ≤ 6 ,

3X₁+ X₂ ≤ 15, X₁ + 5 X₂ ≥ 5,

X₁ ≥ 0, X₁ ≥ 0,

0≤ X₂ ≤ 6. 0 ≤ X₂ ≤ 3.

_{͟ ͟}

L(X) = −9 X₁ + 3X₂ →extr L(X) = 3 X₁ +15X₂ →extr

9. X₁+2X₂ ≥6, 10 . X₁ +8X₂ ≥ 8 _,

7X₁ +9X ₂≤ 63, X₁+ X₂ ≤ 9 ,

3X₁−X₂ ≥0, -2X₁ + 3X₂ ≤ 7,

0 ≤ X₁ ≤ 7, X₁ ≥ 0,

X₂ ≥ 0. 0 ≤ X₂ ≤ 4.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁ + 6X₂ →extr L(X) = -2X₁ -2X₂ →extr

11. 5X₁+X₂ ≤ 20, 12 . 6 X₁ +9X₂ ≥ 8 _,

3X₁− X ₂≥ −4, 3X₁−2X₂ ≥ −10,

3X₁+ 8X₂ ≥ 9, X₁ + X₂ ≤ 8,

X₁ ≥ 0, X₁ −6 X₂ ≤ 0,

X₂ ≥ 0. X_1, X₂ ≥0.

_{͟ ͟}

L(X) = 9X₁−3 X₂ →extr L(X) = -2X₁ +12X₂ →extr

13. 5X₁−X₂ ≥0, 14 . X₁ − X₂ ≤ 0_,

X₁ −3X₂≤ 0, 3X₁+ 2X₂ ≤ 20 ,

6X₁ +11X₂≤ 60, 3X₁ + X₂ ≥3,

X₁ ≥ 0, 0 ≤ X₁ ≤ 3,

0 ≤ X₂≤ 5. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁ + 5,5X₂ →extr L(X) = -2X₁ +2X₂ →extr

15. -X₁+X₂ ≤ 3, 16 . X₁-4X₂ ≤ 0 _,

X₁+4 X ₂ ≥ 7, X₁+X₂ ≤7,

2X₁+ 3X₂≤ 20, 4 X₁− X₂ ≥ −12 ,

0 ≤ X₁ ≤ 8, X₁ ≥0,

X₂ ≥ 0. 0 ≤X₂ ≤5.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁+ 4,5 X₂ →extr L(X) = -2X₁ +1,5X₂ →extr

17. 2X₁−3X₂ ≤ 6, 18 . −7 X₁+2X₂ ≤ 14 _,

X₁+3 X ₂ ≥ 3, 2X₁+X₂ ≤10,

2X₁−X₂≤ 0, 3X₁+5 X₂ ≥ 15 ,

0 ≤ X₁ ≤ 4, X₁ ≥0,

X₂ ≥ 0. 0 ≤X₂ ≤8.

_{͟ ͟}

L(X) = −X₁+ 0,5 X₂ →extr L(X) = 10X₁ +5X₂ →extr

19. 3X₁−X₂ ≥0, 20 . 4 X₁ +3 X₂ ≤ 24,

X₁ −X₂≤ 3, X₁−X₂ ≥ −4,

5X₁ +2X₂≤ 20, X₁ −X₂ ≤ 0,

X₁ ≥ 0, X₁ ≥ 0,

0 ≤ X₂≤ 4. 2 ≤ X₂ ≤ 5.

_{͟ ͟}

L(X) = −4X₁ + 4X₂ →extr L(X) = -2X₁−1,5 X₂ →extr

21. −X₁+2X₂ ≥ −2, 22 . 3X₁ −2 X₂ ≥ −6,

5X₁ −X₂≥−5, X₁−8X₂ ≤ 0,

2X₁ +X₂≤ 8, 2X₁ +X₂ ≥ 2,

X₁ + X₂ ≥ 2, 0 ≤ X₁ ≤ 3,

X_1, X₂ ≥ 0. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = −10X₁ + 2X₂ →extr L(X) = -2X₁+16 X₂ →extr

23. X₁+2X₂ ≥ 4, 24. 3X₁ −4 X₂ ≥ −12,

7X₁ +X₂≥7, 5X₁−4X₂ ≤ 25,

X₁ +5X₂≥ 10, 3X₁ +X₂ ≥ 3,

3 X₁ + X₂ ≤ 15, X_1, X₂ ≤ 0,

X_1, X₂ ≥ 0. X₁ + X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 4X₁ + 4X₂ →extr L(X) = -15X₁+20 X₂ →extr

25. X₁−3X₂ ≤ 0, 26 . 7X₁ +3 X₂ ≥21,

2X₁ +3X₂≤ 30, 7X₁+6X₂≤ 42,

4X₁ +X₂ ≥ 4, 4X₁ −X₂ ≥ 0,

X₁ ≥ 0, 0 ≤ X₁ ≤ 6,

0 ≤ X₂≤ 8. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = X₁ + 1,5X₂ →extr L(X) = -12X₁+ 3X₂ →extr

27. − X₁+X₂ ≥ − 3, 28. 3X₁ +X₂ ≥ 5,

7X₁ −X₂≥ 0, 3X₁−X₂ ≥ 0,

3X₁ +2X₂≥ 6, X₁ −4 X₂ ≥ 0,

5X₁ + X₂ ≤ 15, 0 ≤ X₁ ≤ 3,

X_1, X₂ ≥ 0. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = − 14X₁ + 2X₂ →extr L(X) = -2X₁+8X₂ →extr

29. 2X₁+5X₂ ≥ 12, 30. 4X₁ +5X₂ ≤ 50,

4X₁ −3X₂≥ −12, 3X₁+X₂ ≥ 0,

3X₁ +4X₂ ≤ 24, X₁ −4 X₂ ≤ 0,

0 ≤ X₁ ≤ 7, X₁ ≥ 0,

X₂ ≥ 0. 0 ≤ X₂≤ 5.

_{͟ ͟}

L(X) = − 3X₁ − 4X₂ →extr L(X) = -3X₁+12X₂ →extr

31. 3X₁ − X₂ ≥ 0, 32. X₁ +X₂ ≤ 5,

X₁ +3X₂≥ 3, 3X₁−2X₂ ≥ − 6,

− X₁ +5X₂≥ − 5 , X₁ −3X₂ ≤ 0 ,

3X₁ + 7X₂ ≤ 21, X₁ ≥ 0 ,

X_1, X₂ ≥ 0. 0 ≤ X₂ ≤ 4.

_{͟ ͟}

L(X) = − 3X₁ + X₂ →extr L(X) = -1,5X₁+X₂ →extr

33. X₁− X₂ ≤ 2, 34. 4X₁ +X₂ ≥ 5,

− X₁ +2X₂≤ 4, 4X₁−X₂ ≥ 0,

5X₁− X₂≥ 0, X₁ −3 X₂ ≤ 6,

0 ≤ X₁ ≤ 5, 3 X₁ + 4 X₂ ≤ 24,

X₂ ≥ 0. X_1,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁− 6X₂ →extr L(X) = -2X₁+6X₂ →extr

35. − X₁+X₂ ≥ − 3, 36. −X₁+2X₂ ≤ 4,

X₁ −7X₂ ≤ 0, X₁+3X₂ ≥ 3,

X₁ +X₂≤ 6, 5X₁ +8 X₂ ≤ 4 0,

− 5X₁ + 2X₂ ≤ 5, X₁ ≥ 0 ,

X_1, X₂ ≥ 0. 0≤ X₂≤5.

_{͟ ͟}

L(X) = 4X₁− 4X₂ →extr L(X) = -10X₁−16X₂ →extr

37. 2X₁−X₂ ≥ − 4, 38. 2X₁− X₂ ≥ 0,

3X₁ +X₂≥ 3, 6X₁+X₂ ≥ 6,

X₁− 2X₂≤ 5, X₁ −2 X₂ ≤ 2,

4X₁ + 5X₂ ≤ 32, 0 ≤ X₁ ≤ 6,

X_1, X₂ ≥ 0. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁−1,5 X₂ →extr L(X) = -4X₁+2X₂ →extr

39. 5X₁−X₂ ≥ − 10, 40. − 3X₁ +2X₂≤ 6,

X₁ +X₂≤ 7, X₁−8X₂ ≤0,

X₁ −2X₂ ≤0, 3X₁ +2 X₂ ≤18,

X₁ ≥ 0, − X₁ + X₂ ≥ 5,

0 ≤ X₂ ≤ 6. X₁ ,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 2,5X₁ −X₂ →extr L(X) = -5X₁+5X₂ →extr

41. X₁−X₂ ≥ − 5, 42. 4X₁ +3X₂ ≤24,

3X₁ +2X₂≥ 6, X₁−2X₂ ≤3,

2X₁− X₂≤ 0, 4 X₁ −3 X₂ ≥ 0,

X₁ ≥0, 5 X₁+ X₂ ≥5,

0 ≤ X₂ ≤ 6. X₁ ,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁−3 X₂ →extr L(X) = -3X₁+6X₂ →extr

43. 2X₁+7X₂ ≥ 14, 44. X₁− 5X₂≤ 0,

X₁ −X₂ ≥ −4 , 3X₁−4X₂ ≥ − 12,

X₁ − 7X₂≤ 0, 3X₁ +4 X₂ ≤ 30,

0 ≤ X₁ ≤ 6, 2X₁+ X₂ ≥2,

X₂ ≥ 0. X_1,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = − 2X₁ + 14X₂ →extr L(X) = -6X₁−3X₂ →extr

45. −3X₁+8X₂ ≥ − 8, 46. 3X₁ +X₂ ≥ 6,

8X₁ −X₂≥ 0, 3X₁−7X₂ ≤ 0,

9X₁ +5X₂≤ 45, X₁ +X₂ ≤ 8,

X₁ ≥ 0, 0 ≤ X₁ ≤ 4,

0 ≤ X₂ ≤ 0. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 1,5X₁ -4X₂ →extr L(X) = -6X₁+14X₂ →extr

47. X₁+2X₂ ≥ 4, 48. 3X₁ −4 X₂ ≥ −12,

7X₁ +X₂≥7, 5X₁−4X₂ ≤ 25,

X₁ +5X₂≥ 10, 3X₁ +X₂ ≥ 3,

3 X₁ + X₂ ≤ 15, X_1, X₂ ≤ 0,

X_1, X₂ ≥ 0. X₁ + X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 4X₁ + 4X₂ →extr L(X) = -15X₁+20 X₂ →extr

49. X₁+2X₂ ≥6, 50 . X₁ +8X₂ ≥ 8 _,

7X₁ +9X ₂≤ 63, X₁+ X₂ ≤ 9 ,

3X₁−X₂ ≥0, -2X₁ + 3X₂ ≤ 7,

0 ≤ X₁ ≤ 7, X₁ ≥ 0,

X₂ ≥ 0. 0 ≤ X₂ ≤ 4.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁ + 6X₂ →extr L(X) = -2X₁ -2X₂ →extr

51. 5X₁+X₂ ≤ 20, 52 . 6 X₁ +9X₂ ≥ 8 _,

3X₁− X ₂≥ −4, 3X₁−2X₂ ≥ −10,

3X₁+ 8X₂ ≥ 9, X₁ + X₂ ≤ 8,

X₁ ≥ 0, X₁ −6 X₂ ≤ 0,

X₂ ≥ 0. X_1, X₂ ≥0.

_{͟ ͟}

L(X) = 9X₁−3 X₂ →extr L(X) = -2X₁ +12X₂ →extr

53. 5X₁−X₂ ≥0, 54 . X₁ − X₂ ≤ 0_,

X₁ −3X₂≤ 0, 3X₁+ 2X₂ ≤ 20 ,

6X₁ +11X₂≤ 60, 3X₁ + X₂ ≥3,

X₁ ≥ 0, 0 ≤ X₁ ≤ 3,

0 ≤ X₂≤ 5. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁ + 5,5X₂ →extr L(X) = -2X₁ +2X₂ →extr

55. -X₁+X₂ ≤ 3, 56 . X₁-4X₂ ≤ 0 _,

X₁+4 X ₂ ≥ 7, X₁+X₂ ≤7,

2X₁+ 3X₂≤ 20, 4 X₁− X₂ ≥ −12 ,

0 ≤ X₁ ≤ 8, X₁ ≥0,

X₂ ≥ 0. 0 ≤X₂ ≤5.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁+ 4,5 X₂ →extr L(X) = -2X₁ +1,5X₂ →extr

57. 2X₁−3X₂ ≤ 6, 58 . −7 X₁+2X₂ ≤ 14 _,

X₁+3 X ₂ ≥ 3, 2X₁+X₂ ≤10,

2X₁−X₂≤ 0, 3X₁+5 X₂ ≥ 15 ,

0 ≤ X₁ ≤ 4, X₁ ≥0,

X₂ ≥ 0. 0 ≤X₂ ≤8.

_{͟ ͟}

L(X) = −X₁+ 0,5 X₂ →extr L(X) = 10X₁ +5X₂ →extr

49. − X₁+X₂ ≥ − 3, 50. 3X₁ +X₂ ≥ 5,

7X₁ −X₂≥ 0, 3X₁−X₂ ≥ 0,

3X₁ +2X₂≥ 6, X₁ −4 X₂ ≥ 0,

5X₁ + X₂ ≤ 15, 0 ≤ X₁ ≤ 3,

X_1, X₂ ≥ 0. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = − 14X₁ + 2X₂ →extr L(X) = -2X₁+8X₂ →extr

51. X₁− X₂ ≤ 2, 52. 4X₁ +X₂ ≥ 5,

− X₁ +2X₂≤ 4, 4X₁−X₂ ≥ 0,

5X₁− X₂≥ 0, X₁ −3 X₂ ≤ 6,

0 ≤ X₁ ≤ 5, 3 X₁ + 4 X₂ ≤ 24,

X₂ ≥ 0. X_1,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁− 6X₂ →extr L(X) = -2X₁+6X₂ →extr

53. − X₁+X₂ ≥ − 3, 54. −X₁+2X₂ ≤ 4,

X₁ −7X₂ ≤ 0, X₁+3X₂ ≥ 3,

X₁ +X₂≤ 6, 5X₁ +8 X₂ ≤ 4 0,

− 5X₁ + 2X₂ ≤ 5, X₁ ≥ 0 ,

X_1, X₂ ≥ 0. 0≤ X₂≤5.

_{͟ ͟}

L(X) = 4X₁− 4X₂ →extr L(X) = -10X₁−16X₂ →extr

55. 2X₁−X₂ ≥ − 4, 56. 2X₁− X₂ ≥ 0,

3X₁ +X₂≥ 3, 6X₁+X₂ ≥ 6,

X₁− 2X₂≤ 5, X₁ −2 X₂ ≤ 2,

4X₁ + 5X₂ ≤ 32, 0 ≤ X₁ ≤ 6,

X_1, X₂ ≥ 0. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁−1,5 X₂ →extr L(X) = -4X₁+2X₂ →extr

57. 5X₁−X₂ ≥ − 10, 58. − 3X₁ +2X₂≤ 6,

X₁ +X₂≤ 7, X₁−8X₂ ≤0,

X₁ −2X₂ ≤0, 3X₁ +2 X₂ ≤18,

X₁ ≥ 0, − X₁ + X₂ ≥ 5,

0 ≤ X₂ ≤ 6. X₁ ,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 2,5X₁ −X₂ →extr L(X) = -5X₁+5X₂ →extr

59. X₁−X₂ ≥ − 5, 60. 4X₁ +3X₂ ≤24,

3X₁ +2X₂≥ 6, X₁−2X₂ ≤3,

2X₁− X₂≤ 0, 4 X₁ −3 X₂ ≥ 0,

X₁ ≥0, 5 X₁+ X₂ ≥5,

0 ≤ X₂ ≤ 6. X₁ ,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = 3X₁−3 X₂ →extr L(X) = -3X₁+6X₂ →extr

61. 8X₁+3X₂ ≥ 24, 62. 3X₁ + X₂ ≥ 3 _,

3X₁+7X₂≤ 21, 3 X₁ +4 X₂ ≤ 24,

X₁−10X₂ ≤ 0, 5 X₁ −12 X₂ ≤ 20,

0≤ X₁≤5, 7 X₁ − X₂ ≥ 0,

X₂ ≥ 0. X₁ ≥ 0 ,X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = −2 X₁ +20 X₂ →extr L(X) = 15X₁ +5 X₂ →extr

63. . 4X₁+3X₂ ≤ 24, 64. 5X₁ + 9X₂ ≤ 3 _,

X₁−X₂≤ −3, 3 X₁− 4 X₂ ≥ ,

3X₁−5X₂ ≤ 6, 5 X₁ + 12 X₂ ≥ −6,

0≤ X₁≤3, 0≤ X₁ ≤ 7,

X₂ ≥ 0. X₂ ≥ 0.

_͟

L(X) = −2 X₁ +2 X₂ →extr L(X) = −3 X₁ +18X₂ →extr

65. 2X₁+7X₂ ≥ 14, 66. 4X₁ + X₂ ≥ 5 _,

X₁+X₂≤ 9, X₁− 7X₂ ≤ 0 ,

6X₁−X₂ ≥ 0, 9X₁ + 5 X₂ ≥ −6,

X₁ ≥ 0, 0≤ X₁ ≤ 4,

0≤ X₂ ≤ 5. X₂ ≥ 0.

_{͟ ͟}

L(X) = −3 X₁ + 0,5X₂ →extr L(X) = 18 X₁ +10X₂ →extr

67. X₁−2X₂ ≤ 0, 68. 9X₁ +7 X₂ ≤ 63 _,

3X₁ − X ₂≥ − 3, − 2X₁+3X₂ ≤ 6 ,

3X₁+ X₂ ≤ 15, X₁ + 5 X₂ ≥ 5,

X₁ ≥ 0, X₁ ≥ 0,

0≤ X₂ ≤ 6. 0 ≤ X₂ ≤ 3.

_{͟ ͟}

L(X) = −9 X₁ + 3X₂ →extr L(X) = 3 X₁ +15X₂ →extr

69. X₁+2X₂ ≥6,

7X₁ +9X ₂≤ 63,

0 ≤ X₁ ≤ 7,

X₂ ≥ 0.

3X₁−X₂ ≥0,

Симплексный метод решения задачи линейного программирования .

Пусть торговое предприятие реализует n групп товаров, используя при этом ограниченные материально-денежные ресурсы размером b (i = 1,m).Известны расходы ресурсов i вида на организацию продажи еденицы товарооборота товаров j группы, заданные в виде технологической матрицы А=(a ) ,(i=1,m), (j=1,n), и прибыль, получаемая предприятием от реализации еденицы товарооборота товаров j группы – C .

Требуется определить объем и структуру товарооборота X (j=1,n), при которых общая прибыль торгового предприятия была бы максимальной.

Математическую модель задачи можно записать следующим образом. Определить

X=(X ,X ,...,X ),который удовлетоворяет ограничениям

∑a ∙X ≤ b , ( i=1,m) (2.1)

X ≥ 0, (j=1,n) (2.2)

И доставляет максимальное значение целевой функции

L(X) =∑c ∙x →max. (2.3)

Задача линейного программирования (2.1) +(2.3) может быть решена симплексным методом, так как система ограничений задана в виде системы неравенств только смысла «≤ » и вектор-столбец свободных членов содержит только положительные числа, т.е.b ≥ 0.

Алгоритм симплексного метода включает следующие этапы.

1.Составление первого опорного плана.

Перейдем от системы неравенств (2.1) к системе уравнений путем введения неотрицательных дополнительных переменных. Векторы-столбцы этих переменных представляют собой еденичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными.

∑a ∙ x + x = b , (i=1,m) (2.4)

Разрешим систему уравнений (2.4) относительно базисных переменных:

X = b − ( −∑ c ∙x ), ( i=1,m). (2.5)

Аналогично функцию цели представим в виде:

L(X) = 0 − (−∑ c ∙x ). (2.6)

Пологая, что основные переменные X =X =...=X =0 ,получим первый опорный план X º =(0,0,...,0, b ,b ,...,b ), L(X º)=0.

Исследование опорного плана на оптимальность,а также дальнейший вычисленный процесс удобнее вести, если условия задачи и первоначальные данные, полученные после определения первого опорного плана, занести в симплексную таблицу. Первые m строк симплексной таблицы содержат коэффициенты системы ограничений и свободные члены. Последняя (m+1)-таблицы называется индексной. Она заполняется коэффициентами функции цели, взятыми с противоположным знаком.

2.Проверка оптимальности опорного плана.

Если все коэффициенты индексной строки симплексной таблицы при решении задачи на максимум целевой функции неотрицательны (∆ ≥ 0, j=1,n+m), то опорный план задачи является оптимальным. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, план не оптимальный и можно перейти к новому опорному плану, при котором значение целевой функции увеличится. Переход к другому плану осуществляется исключением из исходного базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора.

3.Направление направляющих (разрешающих) столбца и строки.

Из отрицательных коэффициентов индексной строки ∆ < 0 выбираем максимальный по абсолютной величине. Направляющий столбец, соответствующий выбранному коэффициенту, показывает, какой вектор или переменная на следующей итерации перейдет из свободных в базисные. Пусть, например ∆ < 0 и решено ввести в базис вектор А .

Для определения вектора (переменной), подлежащего исключению из базиса, элементы столбца свободных членов симплексной таблицы ( значения базисных переменных) делим на соответствующие положительные элементы направляющего столбца ( b / a для всех a > 0). Результаты заносим в столбец Ø симплексной таблицы. Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению Ø, является направляюще Пусть этот минимум достигается при i= r . Тогда из базиса исключают вектор А , т.е. переменная X на следующей итерации выйдет из состава базисных переменных и станет свободной. Элемент симплексной таблицы a , находящийся на пересечении направляющих столбца и строки, называется разрешающим.