Знаходження нсд за алгоритмом Евкліда

Лема 1: Якщо а ділиться на b, то НСД (а, b) = b.

Лема 2: Якщо а = bq+ r, де а, b, r – натуральні числа, то НСД (а, b) = НСД (b, r).

Розглянемо алгоритм Евкліда для знаходження НСД довільних натуральних чисел а і b. Нехай а ≥ b. Якщо а ділиться на b,то за лемою 1 НСД ((а, b) = b. Якщо а = bq+ r, де r ≠ 0, то за лемою 2 задача знаходження НСД зводиться до обчислення НСД чисел b, r, де r < b. Якщо b r, то НСД (b, r) = r, а отже, і НСД (а, b) = r. Якщо при діленні b на r матимемо остачу 0 < r₁ < r, то b = rq₁+r₁, і тому НСД (а, b) = НСД (b, r) = НСД (r, r₁). Продовжуючи описаний процес, діставатимемо все менші і менші остачі: r, r₁, …, rm. Зрештою дістанемо остачу, яка ділить попередню остачу. Згідно з лемою 2, ця, відмінна від нуля, остача і є НСД (а, b). Таким чином НСД двох натуральних чисел дорівнює останній, відмінній від нуля остачі в алгоритмі Евкліда для цих чисел.

Алгоритм Евкліда як спосіб послідовного ділення зручно записувати у вигляді многократного ділення кутом.

D (525; 231) = D (231; 63) = D (63; 42) = D (42; 21) = 21

		525				231
		462				2
		231			63
		189			3
63			42
42			1
42	21
42	2
0

К (525; 231) =

Зв’язок між нск і нсд двох чисел a і b

Після обчислення за допомогою алгоритму Евкліда НСД двох чисел можна знайти НСК, використовуючи залежність між НСД і НСК.

К (a, b) · D (a, b) = a · b

К (a, b) =

Отже, існує два способи обчислення НСД і НСК: 1) за канонічним розкладом чисел, 2) за алгоритмом Евкліда.

Питання для узагальнення

• Для чого використовується алгоритм Евкліда?

• В чому він полягає?

• За яких умов можливе його застосування?

3. Заключна частина

Загальний висновок

Найбільшим спільним дільником натуральних чисел а і b називається найбільше число з усіх спільних дільників даних чисел і позначається НСД (а, b) або Д (а, b). Найменшим спільним кратним натуральних чисел а і b називається найменше число з усіх спільних кратних даних чисел. Найменше спільне кратне позначається НСК (а, b) або К (а, b).

Для знаходження НСД і НСК існує два способи: за розкладом на прості множники і за алгоритмом Евкліда.

Запитання для узагальнення студентам

• Що називають спільним дільником цілих чисел а і b?

• Чи завжди він існує? Чому?

• Які має властивості НСД ?

• Що називають найбільшим спільним дільником цілих чисел а і b?

• Чи завжди він існує? Чому?

• Які властивості має НСК?

• Які числа називаються взаємно простими?

• Скільки існує способів для обчислення НСД і НСК?

• Як знайти найбільший спільний дільник кількох цілих чисел?

• Чи для всіх цілих чисел він існує?

• Як можна знайти найменше спільне кратне двох цілих чисел?

Повідомлення домашнього завдання