6. Ознаки подільності на складені числа

Доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25. Природно виникає питання, чи існують ознаки подільності на 6, 12, 30 і взагалі на будь-яке складене число

Ознака подільності на 6.

Для того щоб число х ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 або 2.

Доведення: Необхідність. Нехай а 6. Тоді оскільки а 6 і 6 2, то а 2. Через те що а 6 і 6 3, то а 3 (за властивістю транзитивності).

Достатність: Якщо а 2 і а 3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, а К (2, 3). Оскільки Д (2, 3) = 1, то К (2, 3) = 2·3 = 6. Таким чином, а 6. Теорему доведено.

Теорема про подільність на складені числа: Для того, щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де НСД (b,c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на b і с.

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.

Зауважимо, що дану теорему можна застосовувати багаторазово.

Ознака подільності на 12.

Для того щоб число х ділилося на 12, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4.

Ознака подільності на 15.

Для того щоб число х ділилося на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.

Ознака подільності на 18.

Для того щоб число х ділилося на 18, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 2 і 9.

Отже, існують ознаки подільності на 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.

ІІІ. Заключна частина

Загальний висновок

Ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b·q. Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають а b. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати а b = q.

Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7, ... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9, ... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.

Натуральне число, яке має лише два дільники, називається простим.

Отже, числа 2, 3, 5, 7 – прості числа.

Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Такими числами є 4, 6, 8, 9. Так число 6 має дільники 1, 2, 3, 6. Оскільки число 1 має тільки один дільник, то його не відносять ні до простих, ні до складених.

Існують ознаки подільності на 2, 5, 4 (25), 3, 9, 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.

Запитання для узагальнення студентам

• В якому випадку кажуть, що «ціле число ділиться на ціле число »?

• Яким символом позначається відношення подільності?

• Які числа називаються простими?

• Які числа називаються складеними? Наведіть приклади.

• Яка ознака подільності на 2 (5)?

• Яка ознака подільності на 4 (25)?

• Яка ознака подільності на 3 (9)?

• Які існують теореми подільності? Сформулюйте їх.

Повідомлення домашнього завдання

1. Стойлова, л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. Пособие для учащихся педучилищ / л. П. Стойлова, а. М. Пишкало. – м. : Просвещение, 1988. – с. 197-206.

(Впр.1, 6 (С. 206), впр.1, 2, 4, 8 (С. 209-210)).