1. Поняття відношення подільності

Як відомо, віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел виконується не завжди. Наприклад, на множині N₀ ми не можемо знайти різницю і частку чисел 3 і 8. Але питання про існування різниці цілих невід’ємних чисел а і в визначається просто – достатньо встановити (за записом чисел, що ). Для ділення такої загальної ознаки немає. Тому математики з давніх пір намагались знайти такі правила, які дозволяли б за записом числа а дізнатися, ділиться воно на число в чи ні, не виконуючи безпосереднього ділення а на в. В результаті цих пошуків були відкриті не тільки деякі ознаки подільності, а й інші важливі властивості чисел. Щоб розглянути ці властивості, треба уточнити поняття відношення подільності.

Якщо дано деяке ціле невід’ємне число а і натуральнее число в, то як відомо можливо два випадки:

1) а не ділиться на b. Це означає, що при ділення а на в залишається остача, що більша нуля, але менша за дільник , .

18 не ділиться на 4, тому що 18 = 4 · 4 + 2.

2) а ділиться на b, а кратне b. Це записують так , . Якщо , то говорять, що є дільником числа . , бо .

Так як дільник данного числа не перевищує цього числа, то множина його дільнгиків скінченна.

Наприклад, множина дільників числа . В залежності від кількості дільників серед натуральних чисел розрізняють прості і складені числа.

Означення. Простим числом називається таке натуральнее число, яке має тільки два дільники – одиницю і саме це число.

Наприклад, число 13 просте, тому що у нього два дільника 1 і 13.

Означення. Складеним числом називається таке натуральнее число, яке має більше двох дільників.

Наприклад, число 8 – складене, у нього чотири дільника: 1, 2, 4, 8.

Число 1 не є складеним і не є простим числом, тому що воно має один дільник.

Множина чисел, кратних даному числу нескінчена.

Наприклад, множина чисел, які кратні числу , , де

Отже, говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b·q.

Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають а b. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати а b = q. Наприклад, число а = 24 ділиться на число b = 6, бо існує таке число q = 4, що 24 = 6∙4.

Чисел, кратних даному числу – нескінченна множина. Наприклад, усі парні числа кратні числу 2. Їх можна знайти за формулою х = 2∙q, де q набуває значення 0, 1, 2, 3, ... .

Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7, ... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9, ... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.

Питання для узагальнення

• В якому випадку кажуть, що «ціле число ділиться на ціле число »?

• Яким символом позначається відношення подільності?

• Які числа називаються простими?

• Які числа називаються складеними? Наведіть приклади.

2. Властивості відношення подільності

Відношення подільності має такі властивості: рефлективності, антисиметричності, транзитивності. Доведемо ці властивості.

Рефлективність

Теорема. Відношення подільності рефлексивне, тобто будь-яке натуральне число ділиться саме на себе, тобто .

Доведення. Для будь-якого натурального числа справедлива рівність . А це означає, що існує таке , що звідси за означенням відношення подільності .

З доведеної теореми випливає, що будь-яке ціле невід’ємне число ділиться на 1.

Антисиметричність

Теорема. Відношення подільності антисиметричне, тобто для будь-яких різних чисел і з того, що не слідує, що .

Доведення. Припустимо, що , тоді (1)

Оскільки , то (2)

Нерівності і правильні тільки в тому випадку, коли . Ми прийшли до суперечності з умовою. Отже наше припущення невірне, тобто відношення подільності антисиметричне.

Транзитивність

Теорема. Відношення подільності транзитивне, тобто з того що і слідує, що

Доведення

Якщо

Якщо

, де

Отже .

Відношення подільності є відношенням порядку, бо воно володіє властивостями антисиметричності і транзитивності. Якщо число ділиться на 6, то воно має вигляд 6 , тоді інші числа при діленні на 6 можуть мати остачу 1, 2, 3, 4, 5 це числа

6 +1, 6 +2, 6 +3, 6 +4, 6 +5. Тоді можна представити так

6 +5 6

6 +4 6 +1

6 +3 6 +2

Отже, відношення подільності на множині N₀ цілих невід’ємних чисел має властивості рефлективності, антисиметричності і транзитивності, тобто є відношенням нестрогого порядку, причому часткового порядку, бо не кожна пара цілих невід’ємних чисел знаходиться у відношенні подільності. Наприклад, і .

Питання для узагальнення

• Які властивості має відношення подільності?

• Коли відношення подільності рефлексивне?

• У чому заклечається властивість антисиметричності? Транзитивності?