4. Визначення відношення «менше» через додавання

З’ясуємо на якій теоретичній основі проходить порівняння чисел.

Нехай дано два цілі невід’ємні числа а і в. З теоретико-множинної точки зору вони представляють число елементів скінчених множин А і В: а = n(А), в = n(В). Якщо ці множини рівнопотужні, то їм відповідає одне і те ж число, тобто а = в.

Числа а і в рівні, якщо вони визначаються рівно потужними множинами:

а=в <=> А~В, де n(А)=а, n(В)=в

Якщо множини А і В не рівнопотужні, то числа, які визначаються ними – різні.

а<в <=> А~В₁, де В₁ В та В₁≠В, В₁≠Ø

Якщо множина А рівнопотужна своїй підмножині множини В та n(А)=а, n(В)=в, говорять, що число а менше числа в, та пишуть а<в .В цій же ситуації говорять, що в більше а, та пишуть: в > а

Із наведених визначеннях відношень «дорівнює» та «менше» виходять в початковій школі, коли пояснюють, що 2=2, 3=3, 2<3, 3<4 і т.д.

Н., при введенні запису 3=3 розглядають дві рівнопотужні множини квадратів та кругів.

При вивченні відношення 3 < 4 проводяться роздуми: візьмемо три рожевих кружечки та 4 синіх і кожний рожевий покладемо на синій, що синій кружечок залишився незакритим, тобто, рожевих кружечків менше, чим синіх, тому можна записати 3 < 4.

Відмітимо, ще, що якщо числа а і в визначаються відповідно множинами А та В (кругів, квадратів, паличок тощо) та а < в, то виділення в множині В особистої підмножини, рівнопотужна множині А, на практиці виникає самими різноманітними способами: накладанням, шляхом утворення пар і т.д. Це можливо, так як відношення а < в.

Цей підхід для визначення відношення «менше» має обмежене застосування, він може бути використаний для порівняння чисел в межах 20, оскільки пов'язаний з непосредственим порівнянням двох груп предметів.

Число а менше числа в тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с = в

Користуючись цим визначенням можна пояснити, що 3 < 7. 3 < 7 – оскільки існує таке число 4, що 3 + 4 = 7.

Цей спосіб визначення відношення «менше» через додавання також використовується в початкових класах. Про це говорить наявність записів 5 + 1 = 6, 6 > 5, 7 + 1 = 8, 8 > 7.

Число а менше числа в тоді, коли відрізок натурального ряду N_а являється власною підмножиною відрізка цього ряду N_в.

а<в <=> N_а N_в та N_а ≠ N_в

Н.: справедливість нерівності 3 < 7 із цих позицій можна пояснити тим, що {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Отже, дана трактовка поняття «менше» дозволяє порівняти числа, спираючись на знання їх місця в натуральному ряді.

Цей спосіб порівняння чисел також використовується в початкових класах: число, яке при рахунку зустрічається раніше, завжди менше числа, яке іде пізніше.

ІІІ. Заключна частина

Загальний висновок

Дія, за допомогою якої знаходять суму, називається додаванням. Числа, які додаються, називаються доданками.

У початковому курсі математики додавання цілих невід’ємних чисел вводиться на основі виконання практичних вправ, пов’язаних з об’єднанням двох множин предметів (без використання відповідної символіки та термінології). Основним засобом розкриття теоретико-множинного смислу додавання є розв’язування простих текстових задач.

Сума цілих невід’ємних чисел завжди існує і вона єдина (випливає з теореми про існування і єдиність операції об’єднання множин).

Запитання для узагальнення студентам

• Що називається сумою двох цілих невід’ємних чисел?

• Назвіть компоненти дії додавання.

• Сформулюйте теорему про існування суми та її єдиність.

• Які закони додавання та їх наслідки ви знаєте?

Повідомлення домашнього завдання