
- •Лекція № 5 (31-32)
- •1. Теоретико-множинний зміст суми цілих невід’ємних чисел
- •1. Підготовча робота
- •2. Існування суми, її єдиність
- •3. Закони додавання:
- •Додавання числа до суми і суми до числа
- •Додавання суми до суми
- •4. Визначення відношення «менше» через додавання
- •Кухар, в. М. Теоретичні основи початкового курсу математики [Текст] : навч. Посібник для педучилищ / в. М. Кухар, б. Л. Білий. – к. : Вища школа, 1987. – с. 169 – 174.
4. Визначення відношення «менше» через додавання
З’ясуємо на якій теоретичній основі проходить порівняння чисел.
Нехай дано два цілі невід’ємні числа а і в. З теоретико-множинної точки зору вони представляють число елементів скінчених множин А і В: а = n(А), в = n(В). Якщо ці множини рівнопотужні, то їм відповідає одне і те ж число, тобто а = в.
Числа а і в рівні, якщо вони визначаються рівно потужними множинами:
а=в
<=>
А~В,
де n(А)=а,
n(В)=в
Якщо множини А і В не рівнопотужні, то числа, які визначаються ними – різні.
а<в
<=>
А~В1,
де В1
В та В1≠В,
В1≠Ø
Із наведених визначеннях відношень «дорівнює» та «менше» виходять в початковій школі, коли пояснюють, що 2=2, 3=3, 2<3, 3<4 і т.д.
Н., при введенні запису 3=3 розглядають дві рівнопотужні множини квадратів та кругів.
При вивченні відношення 3 < 4 проводяться роздуми: візьмемо три рожевих кружечки та 4 синіх і кожний рожевий покладемо на синій, що синій кружечок залишився незакритим, тобто, рожевих кружечків менше, чим синіх, тому можна записати 3 < 4.
Відмітимо, ще, що якщо числа а і в визначаються відповідно множинами А та В (кругів, квадратів, паличок тощо) та а < в, то виділення в множині В особистої підмножини, рівнопотужна множині А, на практиці виникає самими різноманітними способами: накладанням, шляхом утворення пар і т.д. Це можливо, так як відношення а < в.
Цей підхід для визначення відношення «менше» має обмежене застосування, він може бути використаний для порівняння чисел в межах 20, оскільки пов'язаний з непосредственим порівнянням двох груп предметів.
Число а менше числа в тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с = в
Користуючись цим визначенням можна пояснити, що 3 < 7. 3 < 7 – оскільки існує таке число 4, що 3 + 4 = 7.
Цей спосіб визначення відношення «менше» через додавання також використовується в початкових класах. Про це говорить наявність записів 5 + 1 = 6, 6 > 5, 7 + 1 = 8, 8 > 7.
Число а менше числа в тоді, коли відрізок натурального ряду Nа являється власною підмножиною відрізка цього ряду Nв.
а<в
<=>
Nа
Nв
та Nа
≠
Nв
Н.: справедливість нерівності 3 < 7 із цих позицій можна пояснити тим, що {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Отже, дана трактовка поняття «менше» дозволяє порівняти числа, спираючись на знання їх місця в натуральному ряді.
Цей спосіб порівняння чисел також використовується в початкових класах: число, яке при рахунку зустрічається раніше, завжди менше числа, яке іде пізніше.
ІІІ. Заключна частина
Загальний висновок
Дія, за допомогою якої знаходять суму, називається додаванням. Числа, які додаються, називаються доданками.
У початковому курсі математики додавання цілих невід’ємних чисел вводиться на основі виконання практичних вправ, пов’язаних з об’єднанням двох множин предметів (без використання відповідної символіки та термінології). Основним засобом розкриття теоретико-множинного смислу додавання є розв’язування простих текстових задач.
Сума цілих невід’ємних чисел завжди існує і вона єдина (випливає з теореми про існування і єдиність операції об’єднання множин).
Запитання для узагальнення студентам
Що називається сумою двох цілих невід’ємних чисел?
Назвіть компоненти дії додавання.
Сформулюйте теорему про існування суми та її єдиність.
Які закони додавання та їх наслідки ви знаєте?
Повідомлення домашнього завдання