Закони операції перетину

1. Переставний (комутативний) закон

Для будь яких різних множин А і В справджується рівність

АВ= ВА

А В В А

2. Сполучний (асоціативний) закон

(АВ) С = А(ВС)

3. Розподільний (дистрибутивний) закон відносно операції перетину

(А В)С = (АС) (ВС)

2. Об’єднання множин і його закони

Для того, щоб пояснити школяру, що 2+3 – це 5, вчитель бере 2 червоних кружечки та 3 синіх. Просить перерахувати ці кружечки., потім пропонує до червоних кружечків придвинути сині (тобто, об’єднати дві сукупності, дві множини) та перерахувати всі кружечки отриманої сукупності. Виясняється, що їх 5, тобто 2+3=5. Таким чином, об’єднання чисел, опирається на операцію об’єднання двох множин.

В наведеному прикладі об’єднувалися множини, які не мають спільних елементів. У математиці приходиться виконувати об’єднання неперетинаючихся множин.

Об’єднанням множин А і В називається множина, яка містить елементи, які належать множин А і В.

Об’єднання множин А і В позначають АВ.

Якщо зобразити пересікаючі множини А і В за допомогою кругів Ейлера, то їх об’єднання зобразиться заштрихованою областю.

Якщо множини А і В не перетинаються, то їх об’єднання зображується так:

Визначення об’єднання множин:

хАВхА та хВ

Наприклад: А = {2, 4, 6, 8},

В = {5, 6, 7, 8, 9},

то АВ = В = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

А як бути в такому випадку, коли множини задані за допомогою характеристичних властивостей їх елементів?

Із визначення слідує, що характеристична властивість множини АВ складається із характеристичних властивостей множин А і В, за допомогою сполучника «або».

Н.: знайдемо об’єднання множини А – парних чисел та множини В – двозначних чисел. Так як властивість елементів множини А – «бути парним числом», а властивість елементів множини В – «бути двозначним числом», то в об’єднанні даних множин ввійдуть числа, характеристична властивість яких – «Бути парним або двозначним числом». Такі числа утворюють безкінечну множину, але сформульована властивість дозволяє однозначно визначати, знаходиться той чи інший елемент в об’єднанні множин А і В чи ні.

Н.: в АВ є числа: 8, оскільки воно парне; 17, оскільки воно двозначне, 36 – воно парне та двозначне.

Дізнаємося тепер, що представляє собою об’єднання множини А – парних натуральних чисел та множини В – натуральних чисел, кратних 4. Раніше було визначено, що ВА. Тому, елементами, які належать множині АВ, будуть елементи множини А. Тому, в даному випадку АВ=А.

Закони операції об’єднання

1. Переставний (комутативний) закон

Для будь яких різних множин А і В справджується рівність

АВ = ВА

А В В А

2. Сполучний (асоціативний) закон

(АВ)С = А(ВС)

3. Розподільний (дистрибутивний) закон відносно операції об’єднання

(АВ) С = (А С)(В С)

3. Віднімання множин

Різницею множин А і В називається множина С, яка містить у собі всі елементи множини А, що не належать множині В.

Позначається різниця так: А\В = С. Тобто: А\В = {x | х є А і х В}.

А\В

Наприклад: А = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, b, d, f}. Тоді А\В = {c, e}.

Отже, у ряді задач теоретичного і практичного змісту виникає потреба виконувати над множинами певні операції: об’єднання, перетин (переріз), віднімання.

Оскільки операції перерізу, об’єднання та віднімання відповідають діям множення, додавання і віднімання, то для них виконуються всі закони цих дій, тобто переставний, сполучний та розподільний.

Питання для узагальнення

• Які операції можна виконувати над множинами?

• Що таке переріз множин?

• Що називається об’єднанням множин?

• Що таке різниця множин?

ІІІ. Заключна частина

Загальний висновок

Одним із початкових понять, які вивчаються у математиці, є поняття множини. Множина – основне невизначене поняття математики. Під множиною розуміють сукупність предметів, що об’єднанні якоюсь властивістю. Множини позначають великими буквами латинського алфавіту А, В, С, D,…, а елементи множин – малими буквами цього алфавіту – а, b, с, d,... Про елементи даної множини говорять, що вони належать цій множині, і символічно записують так: а А. Читають: «елемент а належить множині А» або «множина А містить елемент а».

Задати множини можна двома способами. Найбільш поширеним способом є спосіб переліку їх елементів. Запис А = {a, b, c} означає, що множина А містить три елементи а, b і с, а множина М = {a, b, c, …} крім цих трьох елементів має безліч інших. Другий спосіб: задання множини за допомогою характеристичної властивості (словесно чи символічно).

Над множинами можна виконувати такі операції: об’єднання, перетин (переріз), віднімання. Операції перерізу, об’єднання та віднімання відповідають діям множення, додавання і віднімання, то для них виконуються всі закони цих дій, тобто переставний, сполучний та розподільний.

Запитання для узагальнення студентам

• Що розуміють під поняттям «множина»?

• Що називається елементом множини»?

• Яка множина називається порожньою? Наведіть приклад.

• Які бувають множини?

• Які множини називаються рівнопотужними?

• Назвіть операції над множинами. Навести приклади.

• Назвіть закони операцій над множинами.

Повідомлення домашнього завдання

Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся

педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 61-78.

(§ 5, п. 23 – 29, впр.1 (C. 65), 5, 7 (C. 68), 7 (C. 72), 6, 7 (C. 74)).