1. Поняття множини, її елемента. Порожня множина
Множина – основне невизначене поняття математики. Під множиною розуміють сукупність предметів, що об’єднанні якоюсь властивістю. Поняття множини можна пояснити тільки на прикладах (Н.: множина кутів у трикутнику, множина студентів, множина дерев, вікон тощо). Слово «множина» у математиці вживається замість слів набір, клас, колекція, букет, тобто слів, які характеризують деяку сукупність предметів, причому в цю сукупність може попасти один предмет або жодного.
Множини позначаються великими буквами латинського алфавіту (А, В, С … Z).
Предмети будь-якої природи (люди, будинки, книги, країни, дерева, геометричні фігури, числа і т.д.), які складають множину називаються її елементами (Н.: січень є елементом множини місяців року).
Їх позначають маленькими літерами латинського алфавіту (a, b, c, d, x, y).
а
А
(а
належить множині А);
(а
являється елементом множини А);
(множина А
містить елемент а).
с А – неналежність.
Множина, яка не містить жодного
елемента, називається порожньою
і позначається
Ø. (Н.: А = Ø, множина
трикутників з двома прямими кутами,
множина китів у річці Дніпро, множина
коренів рівняння х
=
–1)
Потужність множини А рівна 6 (кількість елементів) (Н.: А = {а, в, п, к, л, м}, n(А) = 6)
Множини бувають скінченні
(Н.: А = {1, 3, 5, 7, 9}, n(А) = 5) і нескінченні
(Н.: n(А) =
,
N –
множина натуральних чисел, Z
– множина цілих чисел,
Q –
множина раціональних чисел, R
– множина дійсних чисел)
Отже, одним із початкових понять, які вивчаються у математиці, є поняття множини. Це поняття можна уявити собі, абстрагуючись від конкретних множин навколишнього світу. Табун коней, караван верблюдів, колона машин – це все приклади конкретних множин. Синонімами поняття «множина» є поняття «сукупність», «клас», «збірка» тощо. Предмети, об’єкти, які містить множина, називають її елементами. Наприклад, дочка, мати є елементами множини сім’я.
Питання для узагальнення
Що розуміють під поняттям «множина»?
Якими літерами позначається множина?
Що називається елементом множини»?
Яка множина називається порожньою? Наведіть приклад.
Які бувають множини?
2. Способи задання множин
Множину можна задати перераховуючи її елементи. (Н.: А={5, 6, 9}) (Перелічити елементи)
Вказуючи характеристичну властивість елементів множини.
Характеристична властивість – це властивість, яку має кожний елемент, який належить цій множині і не має ні один елемент, який їй не належить.
(Н. Х ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, Х – множина натуральних чисел, які менші 7)
Аналітичний (за допомогою формули).
(Н.: А = {2х, х N, 1 ≤ х ≤ 4})
Питання для узагальнення
Які способи задання множин?
3. Поняття підмножини, рівні множини
Означення. Множина В називається підмножиною множини А, якщо кожен елемент множини В являється елементом множини А. (Множина В міститься у множені А).
В А (множина В є підмножиною множини А).
- знак включення
Н.: А = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 13, 16}, В = {1, 3, 5, 7, 9}, В А
Пуста множина являється підмножиною довільної множини.
Довільна множина являється підмножиною самої себе.
Н.: Підрахувати підмножини множини С.
С = {z, k, e}
{z, k, e}, {Ø}, { z }, {k}, {e}, {z, k}, {k, e}, {z, e}
Означення. Множини називаються рівними (рівнопотужними) тоді і тільки тоді, коли вони містять ті самі елементи, тобто якщо кожен елемент множини В належить множині А і кожен елемент множини А належить множині В. Встановлюючи рівність множин не враховуємо порядок запису елементів у множині. Позначається А=В.
Н.:
А = {а, в, с}
В = {в, а, с} А=В
А = В
Питання для узагальнення
Яка множина називається підмножиною?
Які множини називаються рівними?