2. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства

В обыденной жизни и в научных исследованиях постоянно приходится встречаться с такими ситуациями, когда интересующая нас величина может принимать различные значения в зависимости от случайных обстоятельств. Сколько вызовов поступит на телефонную станцию в течение ближайшего часа? На этот вопрос нельзя дать строго определенного ответа, поскольку число вызовов за определенный промежуток времени подвержено случайным колебаниям день ото дня. Нет также возможности указать точное число дорожно-транспортных происшествий в течение предстоящих суток в каком-либо городе или населенном пункте.

В подобных ситуациях приходится иметь дело со случайными величинами, т. е. такими, значения которых могут быть различны в зависимости от случая.

Что нужно знать о случайной величине, чтобы иметь о ней исчерпывающие сведения? В первую очередь перечень тех значений, которые она может принимать. Однако этого недостаточно. Действительно, можно представить себе величины, которые принимают в точности одни и те же значения, но с различными вероятностями.

Например, два студента могут при каждом выстреле по мишени выбить 0; 1 и 2 очка. Одних этих сведений, конечно, недостаточно, чтобы охарактеризовать меткость стрелков. Если же дополнительно сообщить вероятности, с которыми каждый из них выбивает то или иное число очков, то такая характеристика уже возможна. В данном примере сравнение случайных величин несложно, но можно привести и другие примеры, в которых такое сравнение затруднено.

Пусть – произвольное вероятностное пространство.

Определение. Однозначную действительную функцию , определенную на множестве , называют случайной величиной, если при каждом выборе действительного числа х множество всех тех , для которых справедливо неравенство , принадлежит системе множеств М. Эта функция отображает основное множество на множество R всех действительных чисел.

При таком определении на случайные величины распространяются все правила действий с обычными функциями: их можно складывать, вычитать, перемножать и т. д.

Из определения случайной величины с помощью основных свойств вероятностей можно найти вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное из возможных своих значений.

Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины .

Из определения непосредственно следует, что , так как событие является невозможным, а событие – достоверным.

Рассмотрим некоторые свойства функции распределения.

1. Пусть – случайная величина, и – две произвольные точки числовой прямой, причем Сравним значения функции распределения в этих точках. Так как событие влечет за собой событие , то по следствию 5 из аксиом получим

,

или по определению функции распределения –

Таким образом, функция распределения для любой случайной величины является неубывающей на всей числовой прямой.

2. Так как

то отсюда следует, что

В силу того, что – неубывающая функция и

следует вывод о наличии у графика этой функции двух горизонтальных асимптот:

при и при .

3. Пусть задана функция распределения случайной величины . Тогда вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам

равна

(6.1)

Доказательство. Пользуясь теоремой сложения вероятностей, имеем

откуда

Исходя из определения функции распределения, получаем

(6.2)

4. Если функция непрерывна в точке то

(6.3)

Доказательство. Воспользовавшись равенством (6.1), перейдем к пределу при

Так как при промежуток стремится к точке , то получим

Если функция непрерывна в точке , то последний предел равен нулю. Следовательно,

Примечание. Так как то вместо равенства (2.2) можно получить также

(6.4)

Перечисленные свойства функции распределения делают достаточно ясным ее поведение на всей действительной оси.

Числовые характеристики случайных величин

Полная характеристика случайной величины задается ее распределением вероятностей. Однако в ряде случаев исключительно полезны бывают некоторые постоянные числовые характеристики, дающие представление о ее свойствах. Среди таких характеристик особенно большую роль играют математическое ожидание и дисперсия. Они определяются однозначно по распределению случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины

1. Пусть – дискретная случайная величина, возможные значения которой принимаются соответственно с вероятностями так что .

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число , определяемое равенством

(6.5)

Число возможных значений дискретной случайной величины может оказаться и бесконечным. В таком случае сумма вероятностей представляет собой ряд (сходящийся к единице). Для определения математического ожидания необходимо воспользоваться рядом

(6.6)

причем для существования математического ожидания следует предположить, что ряд (6.2) абсолютно сходится.

Таким образом, математическим ожиданием, или средним значением дискретной случайной величины , называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл

(6.7)

где – плотность распределения вероятностей в предположении, что данный интеграл абсолютно сходится.

Вычислим теперь математическое ожидание некоторых дискретных и непрерывных распределений случайных величин.

1) Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение.

Это значит, что принимает значения 0, 1, 2, …, n , а вероятности этих значений находятся по формуле Бернулли:

По определению математического ожидания находим

Вынося за скобку и производя сокращения, получаем

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой разложение бинома и равно единице, так как . Поэтому получаем

.

Рассмотрим непрерывную случайную величину, подчиняющуюся закону равномерного распределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей в этом случае имеет вид

Используя формулу (3.4) для математического ожидания, имеем

.

Это означает, что математическое ожидание случайной величины , равномерно распределенной на отрезке , находится в центре этого отрезка.

4) Пусть непрерывная случайная величина имеет показательное распределение. Плотность распределения вероятностей в этом случае будет иметь вид

где – параметр.

Согласно формуле (6.4) для математического ожидания, получим

.

Интегрируя по частям интеграл , будем иметь

Тогда