6.3. Аффинные свойства цветового пространства

В соответствии с первым законом Грасмана основные цвета должны быть линейно независимыми. Это значит, что они могут быть представлены любыми тремя векторами, лишь бы эти векторы не лежали в одной плоскости. Таким образом, декартова система координат, на которой был ос­нован изложенный выше материал о цветовом пространст­ве, — лишь частный случай представления векторного пространства цветов. Для выражения совокупности цветов иногда применяют систему косоугольных координат как более общую, чем прямоугольная.

Изменение углов между координатными осями приво­дит к деформации цветового пространства. Например, при уменьшении указанных углов точки цветов (или, что то же, концы векторов) смещаются к ахроматической оси. Естест­венно, что совокупность цветов при этом остается прежней, происходит лишь их перемещение — сжатие цветового пространства. При увеличении углов, наоборот, цветовое пространство расширяется. Однако все его метрологичес­кие свойства (главные из них отмечены в разделе 6.2) при указанных деформациях сохраняются. Сохраняются они и при изменении длин векторов основных цветов, хотя это действие, как и упомянутые, приводит к перемещению цветов в пространстве. Во всех этих случаях деформации пространства изменяются также форма и положение цве­тового треугольника.

Таким образом, существуют геометрические преобра­зования цветового пространства, при которых его метро­логические свойства остаются прежними. Это главным образом — аффинные преобразования (от лат. affinis — родственный).

Пусть х и у.— декартовы координаты некоторой точки на плоскости. Аффинное преобразование состоит в том, что х и у превращаются в новые координаты х₁ и y₁ связанные с исходными соотношениями:

х₁ = ах+bу+р;

y₁= cx+d_y+q, (6.8)

где ad — bc ≠ 0.

Изучением аффинных преобразований занимается раздел математики — аффинная геометрия. Здесь будет рассмот­рен только частный случай, чтобы дать представления, не-

Рис. 6.15. Примеры аффинного преобразования: а — схема преобразования; 6 — результат преобразования обходимые для понимания некоторых свойств цветового пространства. Примером аффинных преобразований слу­жат преобразования подобия, а также получаемые равно­мерным сжатием или расширением изображения. Случай такого преобразования был показан на рис. 6.12: проеци­руемая плоскость и плоскость проекции непараллельны. Представим его более наглядно. На рис. 6.15, а показаны проецируемая плоскость Р, в которой находится ряд фи­гур, и плоскость проекции Р'. Изображения фигур в ре­зультате проецирования сужаются в направлении, пер­пендикулярном линии пересечения плоскостей, т. е. про­исходит их аффинное преобразование. Его следствия пред­ставлены на рис. 6.15, б.

Свойства фигур, которые сохраняются при рассматри­ваемом преобразовании.

1. Параллельность прямых: пары отрезков 1 и 2 оста­ются параллельными и в проекционной копии.

2. Отношения углов: меньший угол в примере 4 и в проекции остается вдвое меньшим, чем больший.

3. Плоскостность фигур.

4. Отношения параллельных отрезков: короткий отре­зок и в копии составляет 2/3 длинного, независимого от их расположения в оригинале (примеры / и 2).

Представим себе, что плоскость Р, показанная на рис. 6.15, а, есть одна из координатных плоскостей прямо­угольной системы координат, ограничивающих цветовое пространство, а Р' --косоугольной. От замены плоскости Р на Р' аффинные свойства цветового пространства, опре­деляющие его метрологические особенности (см. ниже), не нарушаются. Это делает понятной упомянутую выше произвольность выбора угла между координатными осями основных цветов.

Свойства фигур и линий, которые не сохраняются при аффинных преобразованиях, называются н е а ф ф и н-н ы м и (рис. 6.15).

1. Расстояния между параллельными прямыми (при­меры / и 2) в общем случае не сохраняются.

2. При аффинности отношения углов сами углы неаф-финны; как видно из примеров 3, 4 и 5, они могут при аф­финных преобразованиях измениться.

3. Форма фигуры в результате описываемого преобра­зования может измениться: равносторонний треугольник rgb (рис. 6.12) превращается в прямоугольный, соотноше­ния осей эллипсов (пример 7) изменяются, окружность мо­жет перейти в эллипс (пример 6), а эллипс — в окружность (пример 8).

4. Отношения длин непараллельных отрезков также неаффинны: отрезки из примера / сохраняют длину, а от­резки 2 становятся более короткими, и отношения длин указанных пар в оригинале и копии различны.

Рассмотрим теперь несколько примеров, иллюстрирую­щих метрологический смысл аффинных и неаффинных свойств цветового пространства.

Сравнение длин в цветовом пространстве, обладающем аффинными свойствами, имеет смысл только для одного направления (см. случай неаффинности 4 и примеры 1 и 2 на рис. 6.15, а). Сравнивать длины векторов цветов, на­правленных в разные стороны, строго говоря, нельзя: их отношение неаффинно. Из этого вытекает невозможность непосредственного сравнения яркостей качественно раз­личных цветов (т. е. длин векторов, направленных в раз­ные стороны). Для решения такой задачи, как говорилось в 2.2.1, существуют искусственные приемы.

Отмеченная выше неаффинность углов и аффинность их отношений имеет следующее значение. Насыщенность цве­тов разного цветового тона определяется углами их векто­ров с ахроматической осью, возрастая с увеличением этого угла. Но так как углы неаффинны, то насыщенности цве­тов разного цветового тона непосредственно несравнимы (существуют, однако, как мы видели, обходные пути). В то же время насыщенность цветов одного и того же цветового тона сравнивать можно. Это объясняется тем, что векторы цветов и ахроматическая ось в этом случае лежат в одной плоскости. Угол, составляемый вектором меньшей насы­щенности с указанной осью, есть доля угла, образуемого с ней вектором цвета большой насыщенности. Отношения же углов аффинны.

В связи с рассмотренным свойством цветового прост­ранства становится понятным определение цвета по ГОСТ 13088—67: «Цвет есть аффинная векторная величина трех измерений, выражающая свойство, общее всем спект­ральным составам излучения, визуально неразличимым в колориметрических условиях наблюдения».

Определение цвета как аффинной векторной величины означает, что те его свойства, которые аффинны, сохраня­ются при преобразованиях, удовлетворяющих уравнениям (6.8).