1.2.2 Основні закономірності

Основне рівняння динаміки обертального руху

Швидкість зміни

dL

dt

моменту імпульсу тіла рівна головному моменту

M зовнішніх сил, відносно точки обертання

dL

dt

= M

Зміна моменту імпульсу dL тіла рівна імпульсу моменту зовнішніх сил

dL = Mdt

Враховуючи (11), (14) та визначення кутового прискорення e

(22)

формула

(22) приймає вид

M =eJ ⁽²³⁾

81

З рівностей (12) та (22) слідує, що під дією зовнішнього моменту сил M , результуючий момент імпульсу тіла приймає значення

L

P

= L₀ + dL = L + Mdt ⁽²⁴⁾

де L₀ – імпульс тіла до дії моменту сил,

dL – зміна моменту імпульсу тіла під дією імпульсу моменту сил. Закон збереження моменту імпульсу тіла

Якщо момент зовнішніх сил M = 0 , або час його дії t = 0, то момент імпульсу L тіла (чи системи тіл) залишається сталим як за величиною так і за напрямом.

При M = 0, або t = 0, L = Jw – стала величина ⁽²⁵⁾

1.3 Механічна енергія

Кінетична енергія обертального рухуE_КО тіла рівна

E

w

_КО = ^J₂ 2 ⁽²⁶⁾ де J – момент інерції тіла відносно осі обертання,

w – кутова швидкість тіла.

Механічна енергія E тіла рівна сумі потенціальної E_П та кінетичних енергій поступального руху E_КП і обертального E_КО рухів тіла.

E = E_П + E_КП + E_{КО (27)} Закон збереження механічної енергії

Якщо в замкненій системі тіл не діють неконсервативні сили (тертя, напружні деформації і т.п.), то при будь-яких перетвореннях механічної енергії її сумарний запас залишається сталим.

E_П1 + E_КП1 + E_КО1 = E_П2 + E_КП2 + E_{КО2 (28)} Якщо ж система тіл не замкнута, або в системі діють неконсервативні

сили, то частина механічної енергії іде на виконання роботи А проти зовнішніх сил, або перетворюється в немеханічний вид енергії Q (наприклад, тепло).

E_П1 + E_КП1 + E_КО1 = E_П2 + E_КП2 + E_КО2 + A+Q ₍₂₉₎

82

2. Будова, теоретичні основи та принцип дії пристрою «Гіроскоп» фм-18м

2.1 Будова пристрою фм-18м

Пристрій ФМ-18М показаний на мал.1 складається з: основи 2, корпусу 4 з вузлом підшипників, вертикальним валом з гвинтом фіксації 13 і колектором. На валу встановлений лімб 12 і вилка 6. На вилці 6 встановлена гіроскопічна система 8. Основа 2 має три регулювальні опори 1 з фіксуючими гвинтами 3 і рівнем 15.

Лімб 12 і покажчик 5 встановлені на корпусі 4, дозволяють визначати кут повороту гіроскопічної системи під час прецесії.

Гіроскопічна система 8 складається з електродвигуна – маховика з вбудованим датчиком швидкості обертання, стержнів 7,11. На стержні в процесі роботи встановлюють вантаж 10 з фіксуючим гвинтом 9.

Мал.1. – Лабораторний пристрій «Гіроскоп» ФМ-18М

Гіроскопічна система попередньо (при наладці пристрою) вільно зрівноважена.

Стержні 7,11 і вантаж 10 призначені для створення моменту зовнішніх сил, який зумовлює прецесію гіроскопу. Для зручності встановлення вантажу на стержнях нанесені мітки.

83

Гіроскоп в складі лабораторного пристрою працює разом з блоком електронним ФМ18, до якого приєднується з допомогою кабеля з роз’ємом 14. Блок електричний ФМ18 виконаний у вигляді конструктивно завершеного виробу. В ньому встановлений мікроконтролер з відповідними додатковими пристроями, що дозволяють виконувати вимірювання частоти обертання маховика гіроскопу і кутову швидкість його прецесії з індикацією результатів, а також здійснювати функції керування гіроскопом (ввімкнення, вимкнення і регулювання частоти обертання приводу маховика гіроскопу). В склад блоку електронного входять також джерело живлення як самого блоку електронного так і гіроскопу.

На передній панелі блоку електронного розміщені наступні органи керування і індикації:

– кнопка «Пуск/стоп-сброс» призначення:

- для ввімкнення і вимкнення (шляхом повторного натискання) приводу обертання маховика гіроскопу, при цьому кнопка повинна утримуватися в натиснутому стані на протязі 1-2с до індикації відповідного режиму («(0)» – вимкнено, «(І)» – ввімкнено) на індикаторному табло;

- для встановлення нульових показів індикаторного табло (шляхом короткочасного натискання);

– кнопка «Частота +» і «Частота –» – призначені для встановлення граничної частоти обертання маховика гіроскопу, натискання відповідної кнопки приводить до її збільшення (зменшення);

– рідкокристалічне табло індикації – призначене для індикації вимірюваних величин і режимів.

На табло виводиться наступна інформація:

– дійсне значення і граничне значення частоти обертання маховика ^{гіроскопу – відповідно через знак « / »} ( ^{f =***/***Гц}) ^;

– значення кутової швидкості обертання гіроскопічного вузла (прецесії) ₍w =*,** рад/ с _{), (w =wГ =wП )}

Примітка: 1. Частота обертання маховика гіроскопа позначена літерою f , тобто = f .

2. Знаки « * » відповідають цифровим значенням вимірюваної величини. – стан приводу обертання маховика гіроскопу (( І ) – ввімкнуто, ( 0 ) –

вимкнуто).

– на індикаторному табло кутова швидкість повороту (прецесії) w_П гіроскопічної системи позначена w, тобто w ¹w_П .

84

Блок електронний з допомогою шнурів приєднується до гіроскопу ФМ18М та електромережі 220В.

2.2 Теоретичні основи та принцип роботи пристрою «Гіроскоп» ФМ-18М. Гіроскопом (дзиґа) називають масивне тіло, що обертається навколо

матеріальної (динамічної) вісі симетрії і може змінювати свою орієнтацію в просторі.

Щоб вісь гіроскопу могла вільно змінювати свою орієнтацію в просторі, його встановлюють на карданному підвісі, що має три взаємно перпендикулярні вісі обертання АА, ВВ, ДД (мал. 2).

Всі три вісі перетинаються в одній точці, яка називається центром карданного підвісу. Якщо центр карданного підвісу співпадає з центром маси гіроскопу, то гіроскоп називають зрівноваженим, або вільним, якщо ж не співпадає – то незрівноваженим, або важким.

Розглянемо динамічні явища вільного гіроскопу.

1. Нехай вісь гіроскопу, а значить і його момент імпульсу L утворюють кут b з вертикальною віссю ДД (мал.2).

df dL

_L b ^df _MЗ

b ^l w_П

З

F

Мал. 2 – Виникнення прецесії гіроскопу w_П

85

З З З

p

Н

F

а вісь гіроскопу, паралельно осі ДД, діє зовнішня сила _З . Ця сила

створює обертовий момент M_З , направлений вздовж вісі ВВ (7). Момент M_З , згідно основного рівняння динаміки обертального руху (22), зумовлює зміну

моменту імпульсу dL гіроскопу

dL = M_Зdt

Ч

0

ерез час dt момент імпульсу гіроскопу буде (24). L = L + dL

Так як, dL ­­ M_З , а M_З ^ L, то dL ^ L. При цьому внаслідок дії моменту зовнішніх сил M_З , момент імпульсу L гіроскопу, а значить і його вісь, буде змінювати тільки напрям (величина L буде сталою), тобто гіроскоп

буде обертатися навколо вісі ДД. Таке обертання називають прецесією.

Згідно Мал.2, зміна моменту імпульсу dL гіроскопу рівна dL = df ×L

Так як, dL = Mdt то має місце рівність

df ×L = Mdt, або ×L = M

Враховуючи, що

df

dt

=w_П – є кутовою швидкістю прецесії, отримуємо

з

 

акономірність, яка встановлює зв'язок між моментом зовнішніх сил M_З , моментом імпульсу L гіроскопу і кутовою швидкістю його прецесії w_П ,

_

M M M

w_П ×L_ = M_{З (30)} Модуль кутової швидкості прецесії рівний

w_П = _Lsinb = _Jwsinb = _{2 nJ sinb} ,

де J – момент інерції гіроскопу, w та – кутова швидкість

(31)

та частота

обертання маховика гіроскопу. З (30), (31) слідує:

– якщо до вільного гіроскопу прикладений момент зовнішньої сили, то гіроскоп буде прецесіювати;

86

– кутова швидкість прецесії пропорційна M_З і обернено пропорційна моменту імпульсу L гіроскопа та sinb , або обернено пропорційна моменту _{інерції гіроскопу} J , його кутовій частоті та sinb .

– напрям кутової швидкості w прецесії перпендикулярний до M_З

П

F

в

в

ри створенні M_З силою, що має постійний напрям (наприклад, силою тяжіння _T = m g додаткового вантажу масою m , центр маси якого співпадає з віссю гіроскопу і знаходиться на відстані l від центру маси самого гіроскопу

(незрівноважений гіроскоп)) згідно (8) (див. мал.2)

M

в

_З = Flsinb = m glsinb ₍₃₂₎

Враховуючи (32) формула кутової швидкості прецесії (31) приймає

вигляд:

w

в в в

pn

b w

w

J J J

sin

2

_П = ^{m glsinb} = ^{m gl} = ^{m gl} ₍₃₃₎

д

2

е w = pn ( – частота обертання маховика гіроскопу).

Тобто, швидкість прецесії w_П незрівноваженого гіроскопу в полі земного

тяжіння не залежить від положення його осі, а залежить тільки від його маси, моменту інерції, кутової швидкості обертання та відстані між центром маси і центром обертання підвісу.

Гіроскопічні ефекти, що випливають з формул (30), (31) повністю підтверджуються на практиці, наприклад:

– під дією сил тяжіння Сонця та Місяця вісь Землі (великий гіроскоп) здійснює прецесійний рух (один оберт за 26000 років);

– вісь гірокомпасу здійснює прецесійний рух;

– дзиґа також здійснює прецесійний рух, з постійною кутовою швидкістю.

2. Специфічне динамічне явище має місце і при обертанні вільного гіроскопу.

Н

f

d

ехай вісь гіроскопу, а отже і його момент інерції L, утворюють кут b з вертикальною віссю ДД (Мал.3)

При обертанні гіроскопу навколо осі ДД з кутовою швидкістю w_Г = _dt

з

1

а час dt вектор L також повернеться на кут df =w_Г dt, а його кінець переміститься в просторі на dL = df ×OC .

87

df dL

C

^L b ^df

M_Г

w_Г

М

1

(

ал. 3 – Виникнення гіроскопічного моменту M_Г Так як OC = Lsinb , то

^{dL = df×Lsinb = −df×Lsin 180}0 ^{− b})

d

     

L = −_df ×L_ = _L×df_ = _L×w_{Г }dt Враховуючи основне рівняння динаміки обертального руху (22)

dL = M_Г dt , та (13), отримуємо рівність

^M

   

_Г ^{dt = −}_^w_Г ^×L_ ⁼ _^L×w_{Г } ^{= J}[^w×w_Г ] ⁽³⁴⁾ або в скалярній формі

M

p

w

_Г = L _Г sinb = Jww_Г sinb = 2 nJw_Г sinb ₍₃₅₎

З (34), (35) слідує:

– якщо обертати гіроскоп навколо (вертикальної) вісі ДД, то виникає обертовий гіроскопічний момент M_Г (реакція гіроскопу), що намагається

88

повернути гіроскоп навколо (горизонтальної) вісі ВВ, яка перпендикулярна і до вектора L і до вектора w_Г ;

–

Г

напрям гіроскопічного моменту M завжди такий, що він намагається ^{сумістити вектори L і w}_Г ^{найкоротшим шляхом; тобто M}_Г ^{^} (^L,w,w_Г )^;

– модуль гіроскопічного моменту M_Г пропорційний моменту імпульсу L, моменту інерції J , кутовій швидкості w, частоті обертання маховика

г

Г

іроскопу та кутовій швидкості обертання гіроскопічної системи _{w і} sinb (^{b £ L,w}_Г ^£w,w_Г )^.

Порівняння формул (30) і (34) показує, що гіроскопічний момент M_Г

чисельно рівний і протилежний за напрямом моменту зовнішніх сил M_З , які зумовлюють кутову швидкість прецесії w_П рівну кутовій швидкості обертання w_Г гіроскопічної системи.

M_Г = −M_З ⁽³⁶⁾

Саме гіроскопічний момент M_Г і протидіє моменту зовнішніх сил M_З , які намагаються повернути гіроскопічну систему.

Гіроскопічні ефекти, що випливають з формул (34), (35) також повністю підтверджуються експериментально, наприклад:

– на судні при зміні напрямку руху, коливальні (хитавиці) вісі турбін, двигунів, генераторів, гвинтів, в результаті виникнення M_Г , створюють додатковий тиск на підшипники;

– властивість вільного гіроскопу зберігати L сталим використовується для стабілізації руху куль, снарядів, в керованих рухомих пристроях (судна, літаки, ракети і т.п.) для визначення положення і напрямку руху;

– гіроскопічний момент M_Г , що виникає в гірокомпасі (незрівноважений гіроскоп) внаслідок обертання Землі намагається розмістити його вісь в площині меридіану;

– залежність M_Г від швидкості судна, зміни курсу, хитавиці зумовлює похибки в показах гірокомпасу – швидкісну, інерційну, похибку хитавиці, відповідно;

89

– залежністьM_Г від кута b £ L,w_Г обумовлює експлуатаційні особливості гірокомпасів: при малих b гіроскопічний момент M_Г також малий, що зумовлює похибку показів гірокомпасу.

В лабораторному пристрої «Гіроскоп» ФМ-18М, при виконанні

лабораторної роботи, використовуються обидва гіроскопічні явища.

Вимірявши експериментально кутову швидкість прецесії w_П , з формули (33) визначається момент інерції J гіроскопу.

В

p

подальшому, використовуючи прецесію гіроскопа, як його обертання навколо вертикальної вісі з кутовою швидкістю w_Г =w_П , проводяться дослідження залежностей (35) M_Г = 2 nJw_Г sinb .

М

в

омент зовнішньої сили знаходиться за формулою (32) M_З = m glsinb

Звичайно, сили тертя в підшипниках гіроскопу впливають на його поведінку (вісь незрівноваженого гіроскопу з часом повільно опускається, що вказує – M_Г < M_З ), але цей вплив малий і, для простоти розрахунків, ним нехтуємо.