1. Теоретичні відомості

1.1 Основні поняття та закономірності кінематики обертального руху. 1.1.1 Основні поняття.

Обертальним рухом тіла навколо нерухомої осі називають рух, при якому всі точки тіла рухаються по колах з центром на осі і їх площини перпендикулярні осі.

Радіус обертання точки тіла R – відстань від осі обертання до точки

тіла.

Кутове переміщення f (рад., град.) – вектор, чисельно рівний куту

повороту радіусу обертання R точки тіла і направлений вздовж осі обертання

за правилом правостороннього гвинта.

Кут повороту f – кут повороту радіуса обертання R точки тіла.

59

Кутова швидкість w – вектор, чисельне значення якого, характеризує

швидкість зміни кутового переміщення, а напрям співпадає з поступальним ^{рухом правостороннього гвинта} (^{w f})^.

d

w

=

,

с

,

 

f

d

f _ рад _−1 ^dt  ^с 

Модуль кутової швидкості w = _dt

Частота обертання n – кількість обертів за одиницю часу

ⁿ

w

2

 

 

с

⁼ p ^, _об.^,с−1_

П

p

w

n

еріод обертання T – час, за який тіло робить один оберт ^{T = 1 = 2 ,} [^c]

М

w

иттєве кутове прискорення e тіла характеризує швидкість зміни його кутової швидкості в заданий момент часу

e

d

 

2

с

 

= _dt , ^{ рад.},с^{−2 },

e – вектор, який лежить на вісі обертання, а напрям визначається знаком

^п

w

d

о^хідної dt ^.

1.1.2 Основні закономірності.

t

^{Кутове переміщення точки f =} ò^wdt 0

Кутове переміщення точки при рівноприскореному русі

f =wt ₍₁₎

Кутова швидкість тіла при прискореному русі

t

^{w =w0 +} ò^{e dt} 0

де w₀ – початкова кутова швидкість тіла (швидкість при t = 0).

Кутова швидкість тіла при рівноприскореному русі w =w₀ +et

Модуль кутової швидкості руху тіла (при w₀ e )

w =w₀ +et ₍₂₎

60

Кутове переміщення тіла при прискореному русі

f

ò ò

w

 

0

= t ^ + t e dt^dt 0  0 

Кутова координата точки тіла при рівноприскореному русі

_f

2

t

_=f0 _+w0_{t +} e2

Кут повороту тіла при рівноприскореному русі (при w₀ e )

f

2

t

=w₀t + ^e₂ ⁽³⁾

Зв'язок між лінійним і кутовим переміщенням точок тіла

⁼[^w;r] ^{, (4)}

де r – радіус вектор точки тіла.

При r = R перпендикулярному до осі обертання : – модуль швидкості =wR ;

– нормальне прискорення точок тіла в скалярній формі

2

u

a_n =w²R = _R ⁽⁵⁾

–

(

тангенціальне прискорення точок тіла:

_a

w

w

d

t

₌ ^d dt^R) ₌ dt _{R =eR (6)}

–

t

n

повне прискорення a = a² + a²

1.2 Основні поняття та закономірності динаміки обертального руху 1.2.1 Основні поняття

Момент сили M відносно точки О характеризує здатність сили F обертати тіло навколо цієї точки і рівний векторному добутку радіус-вектора

r , який проведений з точки О до точки прикладання сили, на силу F_.

^M

 

⁼ _^{r ×F}_{ ,} [^{Н ×м}] ⁽⁷⁾

Модуль моменту сили

M = F ×r×sina = F ×l

_де a _{– кут між} r _і F_, l = rsina

(8)

– плече сили, довжина

_{перпендикуляра, опущеного з точки О на лінію дії сили} F_.

Головний (результуючий) момент зовнішніх сил рівний векторній сумі моментів окремих сил.

61

 

M = M₁ + M₂ +...+ M_{n (9)}

_{Момент імпульсу} L _{матеріальної точки, масою} m_{, що рухається зі}

_{швидкістю} u _{відносно нерухомої точки О, називають векторний добуток радіус-вектора} r _{точки на її імпульс} p

^L

u

⁼[^{r × p}]⁼[^{r ×m} ]_,

^кг× м^{2 }

 ^с 

(10)

Модуль моменту імпульсу матеріальної точки

L

u

u

= r× p×sina = r×m ×sina = R×m = mR²w , ⁽¹¹⁾ де r×sina = R – відстань точки від осі обертання

Момент імпульсу системи матеріальних точок (тіла) відносно нерухомої точки О рівний векторній сумі моментів імпульсів окремих точок (частин тіла)

L

1 2

n

= L + L +...+ L ₍₁₂₎

М

L

омент імпульсу L точки масою m відносно осі обертання Z _Z = mR² ×w_Z = J_Z ×w_Z

Момент імпульсу системи точок (тіла) відносно осі обертання Z

_Z

L

L L L

1

 

N

å

2

m R

 

=

= _Z + _Z2 +...+ _ZN = _ i 1 _{i i }×w_Z = J_Z ×w_{Z (13)} Момент інерції J точки (тіла) є мірою інертності тіла при

обертальному русі.

М

 

омент інерції J_Z точки масою m відносно осі Z розміщеній на відстані R від точки рівний

J_Z = mR² , _кг× м² _{ (14)} Момент інерції системи точок (тіла) відносно осі Z

^J

N

i i

=

_Z ⁼ å^{m R}2 ⁽¹⁵⁾ i 1

Момент інерції суцільного тіла

m V

^{J =} ò^r2^{dm =} ò^rr2^dV 0 0

д

dm

е r = _dV – густина маси тіла

Момент інерції тіла масою m відносно осі, що знаходиться на відстані d від центру його маси (теорема Штейнера)

62

J = J_C + md² , ⁽¹⁶⁾

де J_C – момент інерції тіла відносно осі, яка паралельна даній і проходить через центр маси.

Момент інерції простих тіл масою m відносно геометричної осі – порожнистий тонкостінний циліндр

J = mR^{2 (17)} – суцільний циліндр (диск, вал)

J

2

= ^mR2 ⁽¹⁸⁾

– куля

J

2

= ₅mR² (19)

– стержень масою m і довжиною l відносно осі, перпендикулярної до кінця стержня

J

1

= ₃ml² (20) – стержень, відносно осі перпендикулярної до середини сторони

J

1

= ₁₂ml² (21)