Вычислим ротор поля 𝚽: rot𝚽

Пример 6. Найти ротор вектора в точке М(-1; -1; -1).

Решение. ;

;

Пример 7. Показать, что поле потенциально и найти его потенциал.

Покажем, что .

Следовательно, поле потенциально. Найдем потенциал поля двумя разными способами.

I способ. Составим систему уравнений с частными производными:

Интегрируя первое уравнение по , получаем:

(здесь роль константы интегрирования играет любая функция , ибо ее частная производная по равна нулю). Далее, дифференцируя полученную функцию по переменной и используя второе равенство системы, получаем уравнение , откуда . Инт5грируя полученное уравнение по переменной , получим . Подставляя найденное значение функции в функцию , приходим к равенству: . Наконец, дифференцируя функцию по переменной и используя последнее равенство системы, получаем: , откуда , т.е. . Таким образом, приходим к окончательному виду потенциала: .

II способ. Вычислим потенциал непосредственным интегрированием. Фиксируя точку , рассмотрим произвольную точку . Тогда

.

Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от формы пути) выберем в виде ломаной , где отрезок параллелен оси , отрезок – оси , а отрезок – оси . Вдоль имеем и , а, следовательно, , вдоль уже – постоянно и , откуда , а вдоль обе переменные и – постоянны, а значит, . Тогда

постоянны, а значит, . Тогда

Задачи и упражнения

5.14.  Дано векторное поле и точка М(-5; 0; 1). Найти

5.15. Дано векторное поле . Найти дивергенцию поля в точке М(2; 3; 0).

5.16. Найти дивергенцию векторного поля в точке М(1; 1; 1).

5.17. Найти дивергенцию векторного поля в точке М(2; -1; 1).

Проверить соленоидальность векторных полей.

5.18.  .

5.19. .

5.20. .

5.21. .

5.22. Найдите дивергенцию векторного поля , где – постоянный вектор, а .

5.23. Для какой функции дивергенция векторного поля будет равна ?

5.24. Найдите функцию , для которой выполняется равенство .

5.25. Являются ли следующие пространственные векторные поля потенциальными? б) соленоиддальными?

5.26. Найдите ротор векторного поля .

5.26. Найти общее выражение для ротора вектора .

5.27. Найти общее выражение для ротора векторного поля .

5.28. Найти ротор вектора в точке М(1; 2; 0).

5.29. Какова должна быть функция , чтобы ротор векторного поля совпал с вектором ?

Показать, что следующие векторные поля являются потенциальными и найти их потенциалы.

5.30. 𝚽 . 5.31.

5.32. . 5.33.

5.34. .

5.4. Интегральные формулы. Если область D простая, ограниченная контуром , а векторная функция непрерывна вместе с частными производными и в , то имеет место формула Грина:

.

Если векторная функция , непрерывна вместе с частными производными , , в области , то имеет место формула Остроградского-Гаусса:

В декартовой системе координат формула имеет вид:

.

Поверхностный интеграл в правой части берётся по внешней нормали.

Пусть - поверхностно-односвязаная область, - кусочно-гладкий контур в и - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на и лежащая в области . Если в области задано векторное поле , непрерывное и дифференцируемое в во всех точках области и также непрерывен в , то справедлива формула Стокса:

,

т.е. циркуляция поля 𝚽 по контуру Г равна потоку ротора 𝚽 через поверхность ∑. Направление обхода контура и ориентация поверхности согласованы. В декартовой системе координат формула имеет вид:

Пример 8. Криволинейный интеграл преобразовать по формуле Грина.

Решение. В нашем случае

; ; ; .

Тогда

.

Пример 9. С помощью формулы Грина, вычислить циркуляцию поля вдоль контура L, ограниченного линиями , .

Решение. Построим контур L (рис.5.1), тогда:

5.33. С помощью формулы Грина вычислить циркуляцию поля вдоль контура, ограниченного линиями и (обход контура против часовой стрелки).

5.34. С помощью формулы Грина вычислить циркуляцию поля вдоль контура, ограниченного линиями и (обход контура против часовой стрелки)

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:

5.35. окружность проходимая против часовой стрелки.

5.36.

5.37. , где L –окружность

5.38. где L – состоит из дуги параболы соединяющей точки и и отрезка прямой, соединяющей эти точки.

Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностные интегралы.

Пример 10. .

Решение. Формула Остроградского – Гаусса имеет вид:

;

.

5.39.  .

5.40. .

5.41. .

Пример 11.  Вычислить поток векторного поля через полную поверхность параллелепипеда, ограниченного плоскостями: ; ; ; ; ; .

Решение. ; ;

;

Построим область (рис. 5.2) из условий задачи, тогда объем параллелепипеда будет равен ;

.