2. Двойной интеграл
2.1. Двойной интеграл в декартовой системе координат. Пусть область можно задана системой неравенств (рис.2.1):
Геометрически
это означает, каждая вертикальная прямая
пересекает границу области
только в двух точках
и
,
которые называются соответственно
точкой входа и точкой выхода. Тогда
вычисление двойного интеграла сводится
к вычислению повторного интеграла по
формуле:
.
Если же область (рис. 2.2) можно задать в виде системы неравенств:
то
.
Повторные
интегралы, стоящие в правых частях
равенств, отличаются друг от друга
порядком интегрирования. Интеграл,
содержащий функцию
,
называются внутренним,
другой – внешним.
При вычислении повторных интегралов
следует брать сначала внутренний
интеграл, при этом переменная, не стоящая
под знаком дифференциала, принимается
постоянной. Затем вычисляется внешний
интеграл, (таким образом, интегрирование
в повторном интеграле идет справа
налево). Каждый из них вычисляется при
помощи формулы Ньютона-Лейбница, как
определенный интеграл.
Области, не представимые в описанном выше виде, следует разбить на конечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координатным осям (рис. 2.3). При вычислении двойных интегралов по таким областям следует применить свойство аддитивности и вычислять интеграл по области как сумму интегралов по областям, составляющих эту область.
Пример 1.
Вычислить двойной интеграл
.
Решение.
Пример 2.
Вычислить двойной интеграл
.
Решение.
Вычислить двойные интегралы:
2.1.
. 2.2.
.
2.3.
. 2.4.
.
Пример 3.
Определить пределы интегрирования
,
если область D
ограничена
линиями: а) D=
.
Решение.
И
зобразим
область
(рис. 2.4), тогда:
Рис.2.4
б) D=
.
Р
ешение.
Изобразим
область
(рис. 2.5), тогда:
Рис.2.5
Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле:
2.5.
.
2.6.
.
2.7.
.
2.8.
.
2.9.
.
2.10.
.
2.11.
.
Пример 4. Построить область и изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
а)
.
Решение.
Построим область
(рис.2.6),
тогда:
Рис. 2.6.
Расставляя пределы интегрирования, получим:
.
б)
.
Решение.
Построим
область
(рис. 2.7), тогда:
.
.
Рис. 2.7.
Задачи и упражнения
Изменить порядок интегрирования в двойных интегралах:
2.12.
. 2.13.
.
2.14.
. 2.15.
.
2.16.
.
12.17.
2.18
.
2.19.
.
2.20.
.
2.21.
.
2.22.
.
2.23.
.
2.24.
.
2.25.
.
2.26.
.
Пример 5. Вычислить следующие двойные интегралы:
а)
;
область
ограничена прямыми
Решение.
П
остроим
область
(рис. 2.8), тогда:
б)
;
область
ограничена параболами
,
.
Решение. П
остроим
область
(рис. 12.9), тогда:
.
Задачи и упражнения
Вычислить двойные интегралы:
2.27.
;
область
ограничена прямыми линиями
2.28.
;
область
ограничена прямыми линиями
2.29.
;
область
ограничена прямыми линиями
2.30.
;
область
ограничена прямыми линиями
и параболой
.
2.31.
; область
ограничена прямыми линиями
и гиперболой
.
2.32.
;
область
ограничена прямыми линиями
.
2.33.
;
область
ограничена прямыми линиями
.
2.34. ; область ограничена прямыми линиями
.
.
,
где
.
,
где
.
2.37.
,
где
.
2.2.
Двойной интеграл в полярной системе
координат.
Имеет место формула замены переменных
в двойном интеграле при переходе к
полярным координатам
.
Эти координаты связаны с прямоугольными
координатами формулами
,
.
Формула имеет вид:
.
К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга. Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.
Пример
6. Перейти
к полярным координатам в двойном
интеграле
.
Решение. Построим область (рис.2.10), тогда:
.
Пример 7. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл
,
где область
ограничена окружностями:
;
.
Решение. Построим область (рис. 2.11), тогда
Задачи и упражнения
Перейти к полярным координатам в двойном интеграле:
2.38.
. 2.39.
.
2.40.
.
2.41.
.
2.42.
.
2.43.
;
область
-
круг
с центром в начале координат.
2.44 .
; область
-
кольцо между двумя
окружностями
и
.
2.45.
:
– область, ограниченная линиями
.
2.46.
;
– область, ограниченная линиям
.
2.47.
и расставьте пределы интегрирования,
если
– область, ограниченная линиями
.
2.48.
и расставьте пределы интегрирования,
если
– область, ограниченная линиями
.
Переходя к полярным координатам, вычислите следующие интегралы:
2.49.
,
если область
ограничена прямыми
.
2.50.
,
если область
ограничена окружностью
,
.
2.51.
,
где
– кольцо между окружностями радиусов
и
с центром в начале координат.
2.52.
.
2.53.
.
2.54.
,
где
– полукруг диаметра
с центром в точке
,
лежащий выше оси Ох.
2.3. Вычисление площади области и объема телa. Если D -ограниченная область плоскости Oxy, то ее площадь вычисляется по формуле:
.
Пусть
f(x,y)
- неотрицательная, непрерывная функция
в замкнутой области.
Если V
– тело, ограниченное сверху поверхностью
z=f(x,y),
снизу областью D,
а сбоку - соответствующей цилиндрической
поверхностью с образующей параллельной
оси Оz
и направляющей,
совпадающей с границей области D,
то объем этого тела равен:
Если V
– тело,
ограниченное сверху поверхностью
z=f(x,y),
снизу - поверхностью z=g(x
,y),
причем
проекции обеих поверхностей на плоскость
Оxy
есть
область D,
в которой
функции f(x,y)
и g(x,y)
непрерывны, причем, f(x,y)
g(x,y),
то объем этого тела равен
Пример
7. Вычислить
объем тела, ограниченного плоскостями
,
и цилиндром
.
Решение.
Построим область
(рис. 2.12) и ее проекцию на плоскость
(рис. 2.13), тогда:
Задачи и упражнения
Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
2.55.
,
,
.
2.56.
2.57.
,
.
2.58.
,
,
.
2.59.
,
,
.
2.60.
,
,
.
2.61.
,
,
.
2.62.
2.63.
Вычислите площадь петли кривой
.
2.64.
Вычислите площадь петли кривой
.
Указание: сделайте замену переменных
,
.
Найти двойным интегрированием объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
2.65. Плоскостями
и параболоидом
.
2.66. Плоскостями
и цилиндром
.
2.67. Плоскостями
и цилиндром
.
2.68. Плоскостями
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
2.69.
2.70.
2.71.
2.72.
2.73.
2.74.
