Побудова кривих розподілу частинок суспензії за розмірами з даних седиментаційного аналізу

М ета роботи: навчитися проводити математичну обробку експериментальних даних із метою побудови кривих інтегральної та диференціальної функцій розподілу.

Теоретичні відомості

Поняття інтегральної та диференціальної функції розподілу використовуються не тільки для статистичного аналізу випадкових величин, а й для вивчення конкретних явищ. До таких понять звертаються, наприклад, при вивченні фракційного складу суспензій шляхом проведення седиментаційного аналізу, результати якого дуже важливі для розробки технологій приготування різних сус-пензій. Розглянемо докладніше таке дослідження.

Седиментаційний аналіз має на меті визначення розмірів частинок та фракційного складу дисперсних систем методом безперервного зважування, а також побудову кривої седиментації для низькодисперсного порошку; інтегральної та диференціальної кривих розподілу. У результаті проведення седиментаційного аналізу дістають експериментальні дані на підставі залежності маси m частинок, що осіли, від часу  (рис. 3.4).

Основне рівняння седиментаційного аналізу, яке пов’язує розмір частинок зі швидкістю їх осідання, має вигляд:

, (3.3)

де  — густина речовини частинки; ₀ — густина середовища; g — прискорення вільного падіння;  — в’язкість рідини; u — швидкість руху частинки.

Якщо всі постійні величини в рівнянні (3.3) об’єднати в одну константу:

то рівняння для розрахунку еквівалентного радіуса частинок набирає вигляду:

,

або

. (3.4)

Рис. 3.4. Крива седиментації полідисперсної суспензії

Очевидно, що u = H/, де H – висота осідання частинок, м;  — час осідання.

При обробці даних седиментаційного аналізу звичайно використовується диференціювання рівняння кривої нагромадження осаду. Цей спосіб визначення кривої розподілу частинок за розмірами ґрунтується на рівнянні Сведберга — Одена:

, (3.5)

в якому Q_i — маса частинок радіусом r, що закінчують осідання в момент часу τ, тобто всіх тих фракцій, які повністю осіли до моменту τ (рис. 3.4). Це рівняння має простий фізичний зміст: швидкість збільшення маси осаду dm/dτ у будь-який заданий момент часу τ зумовлена осіданням частинок, радіус яких менший за r = r(τ).

Оскільки до цього моменту нагромадження таких частинок відбувалося з постійною швидкістю, то добуток τ (dm/dτ) являє собою масу частинок радіусом r < r(τ), осілих до часу τ на шальку седиментометра, а залишок Q_i = m – τ(dm/dτ) — масу більших частинок, що вже осіли.

Залежність маси речовини, яка осіла, від часу подається рівнянням:

, (3.6)

де константа Q_max характеризує масу частинок усієї дисперсної фази. Фізичний зміст τ₀ легко визначити, прирівнявши τ до τ₀. Тоді m_τ0= Q_max/2, тобто τ₀, є часом половинної седиментації і визначає час, за який осідає половина маси частинок дисперсної фази.

Лінеаризація рівняння (3.6) до вигляду:

дає змогу визначити константи Q_max та τ₀. Тангенс кута нахилу прямої в координатах τ/m – τ дорівнює 1/Q_max, а відрізок, що відтинається на осі ординат, дорівнює τ₀/Q_max.

Далі можна побудувати інтегральну криву розподілу (Q_i = f(r) або Q_i/Q_max = f(r)) та диференціальну криву , скориставшись аналітичним методом.

Для цього скористаємося рівнянням (3.5) і виразимо Q_i з цього рівняння:

Q_i = m – τ (dm/dτ). (3.7)

Виконавши необхідні перетворення та скориставшись формулами (3.6) і (3.7) і виразом r через τ, дістанемо:

Q_i = , (3.8)

де .

Рівняння (3.8) є аналітичним виразом інтегральної кривої розподілу частинок. Щоб дістати диференціальну криву, візьмемо похідну і, урахувавши рівняння (3.8), дістанемо:

(3.9)

При обробці даних седиментаційного аналізу, як показує наведений далі приклад, розрахунки зручно виконувати за допомогою програми MS ЕХСЕL. Обробка даних базується на використанні рівнянь:

і

Розглянемо приклад обробки даних седиментаційного аналізу в середовищі MS ЕХСЕL.

При проведенні седиментаційного аналізу суспензії глини у воді було отримано дані, наведені в таблиці.

Експериментальні дані щодо седиментації частинок суспензії глини у воді

τ, с	m, мг	τ, с	m, мг
0	0	330	210
1	47	450	223
30	105	510	225
60	135	570	226
90	155	690	227
120	170	810	230
150	178	930	233
180	183	1050	234
210	195	1170	236
240	198	1290	236
270	200

Умови досліду: H = 0,08 м; _{середовища} = 1  10^–3 Пас; _глини = = 3,4  10³ кг/м³; ₀ = 1,00  10³ кг/м³.

Потрібно побудувати криву седиментації для низькодисперсного порошку; залежність τ/m від τ для системи глина — вода; інтегральну та диференціальну криві розподілу частинок суспензії глин у воді. Розрахувати вміст (у відсотках) окремих фракцій та вказати, частинок якого розміру в суспензії міститься найбільше.

Форма звіту: копія аркуша MS ЕХСЕL із вихідними та розрахованими значеннями; графіки функцій:

m = f(); τ/m = f(τ); ;

Експериментальні дані записуємо в комірки програми MS ЕХСЕL у стовпці А та В (наприклад, як показано на рис. 3.5).

Рис. 3.5. Використання ЕХСЕL для обробки даних седиментаційного аналізу

Будуємо криву седиментації m = f(τ) (рис. 3.6), використовуючи програму ЕХСЕL та дані, наведені у стовпцях А та В.

Аналогічно побудуємо залежність τ/m від τ для системи глина — вода, яка дає змогу визначити константи Q_max та τ₀, скориставшись даними, наведеними в стовпцях А та С. За допомогою програми MS ЕХСЕL будуємо відповідний графік –– пряму лінію, що описує експериментальні дані (рис. 3.7).

Тангенс кута нахилу прямої в координатах τ/m – τ дорівнює 1/Q_max, а відрізок, що відтинається на осі ординат, дорівнює τ₀/Q_max.

Рис. 3.7. Залежність τ/m від τ для системи глина — вода

Згідно з рівнянням, наведеним на рис. 3.7, 1/Q_max = 0,0041, а τ₀/Q_max = 0,1753.

Відповідно Q_max = 243,9 мг, а τ₀ = 42,76 с.

Для побудови інтегральної кривої розподілу необхідно обчислити значення r₀ та К.

Обчислюємо: константу (у комірці G3)

=

= (9  1  10^–3/2(3,4 – 1,00)10³  9,81)^0,5 = 0,437  10^–3 с^0,5 м^0,5 ;

значення = 1,89·10^–5м (у комірці J11);

τ_max (у комірці H2) згідно з рівнянням (3.6), вважаючи, що τ_max дорівнює часу, коли осіло 98 % маси частинок (m/Q_max = 0,98), а τ_min = 20 с; значення r_max та r_min (у комірках H6 та H4) згідно з рівнянням (3.4).

Далі в стовпці К набираємо значення радіусів r, які наближено містяться в інтервалі від r_min до r_max. Тоді згідно з рівняннями (3.8) та (3.9) у стовпцях M та N обчислюємо значення

і .

Отже, всі необхідні дані ми обчислили. Тепер, скориставшись програмою ЕХСЕL, можемо побудувати згідно з рівнянням (3.8) інтегральну криву розподілу частинок глини за радіусами (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Інтегральна крива розподілу частинок глини за радіусами

Далі згідно з рівнянням (3.9) будуємо диференціальну криву розподілу частинок глини за радіусами (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Диференціальна крива розподілу частинок глини за радіусами

Площа під диференціальною кривою розподілу частинок глини за радіусами дорівнює одиниці. Розмір площі, обмеженої деякими значеннями радіусів, відповідає за масову частку фракції.

Масову частку окремих фракцій можна визначити також з інтегральної кривої розподілу частинок глини за радіусами як різницю між значеннями Q_r1/Q_max – Q_r2/Q_max для певних значень радіусів r₁ та r₂.

Частка (у відсотках) окремих фракцій, розрахована за даними стовпця N, становить: для фракції з r < 6∙10^–6м — 17%,

6∙10^–6м < r < 12∙10^–6м — 32%,

12∙10^–6м < r < 18∙10^–6м — 23%,

18∙10^–6м < r < 24∙10^–6м — 13%,

24∙10^–6м < r < 30∙10^–6м — 7%,

30∙10^–6м < r < 36∙10^–6м — 4%,

36∙10^–6м < r — 4%.

Максимум на диференціальній кривій розподілу частинок глини за радіусами вказує на розміри частинок, яких у суспензії міститься найбільше. Як відомо, похідна функції у точці екстремуму дорівнює нулю, а отже, щоб розрахувати значення R переважного радіуса частинок, що відповідає точці максимуму, потрібно знайти похідну функції та прирівняти її до нуля. Виконавши такі дії, дістанемо, що в точці, де dy/dr = 0 виконується рівність r = = r₀/5^0,5 = R.

У розглянутому прикладі це частинки зі значенням переважного радіуса R = 1,89 · 10^–5м /5^0,5= 8,5∙10^–6м.

Завдання для розрахункової роботи

При проведенні седиментаційного аналізу суспензії тальку у воді було отримано дані, наведені в таблиці в п’яти варіантах.

Умови досліду: H = 0,12 м; _{середовища} = 0,910^–3 Пас; _тальку = = 2,7  10³ кг/м³; ₀ = 0,96  10³ кг/м³.

Потрібно побудувати криву седиментації для низькодисперсного порошку; залежність τ/m від τ для системи тальк — вода; інтегральну та диференціальну криві розподілу частинок суспензії тальку у воді. Розрахувати вміст у відсотках окремих фракцій та вказати, частинок якого розміру в суспензії найбільше.

Форма звіту: копія аркуша MS ЕХСЕL із вихідними та розрахованими значеннями, графіки функцій:

m = f(); τ/m = f(τ);

; .

Експериментальні дані щодо седиментації частинок суспензії тальку у воді

τ, сек	m, мг
	Вар. 1	Вар. 2	Вар. 3	Вар. 4	Вар. 5	Вар. 6	Вар. 7	Вар. 8
15	65	66	64	64	68	69	70	63
30	103	105	101	99	110	113	115	98
60	146	149	142	138	160	166	171	136
90	170	173	164	159	189	197	205	157
120	185	188	178	172	208	217	226	169
150	195	199	188	181	221	231	242	178
180	202	206	194	187	230	241	254	184
210	208	212	200	192	238	249	263	188
240	212	217	204	196	243	256	270	192
270	216	221	207	199	248	261	276	195
330	221	226	212	203	255	269	284	199
390	225	231	216	207	261	275	291	203
450	228	234	218	209	265	280	296	205
570	233	238	222	213	270	286	303	208
690	235	241	225	215	274	290	308	211
810	238	243	227	217	277	293	312	212
930	239	245	228	218	279	296	314	214
1050	240	246	229	219	281	297	316	215
1170	241	247	230	220	282	299	318	215
1290	242	248	231	221	283	300	319	216
1410	243	249	231	221	284	301	320	216
1530	243	249	232	222	285	302	321	217
1650	244	250	232	222	285	303	322	217
1770	244	250	233	222	286	303	323	218

τ, сек	m, мг
	Вар. 9	Вар. 10	Вар. 11	Вар. 12	Вар. 13	Вар. 14	Вар. 15	Вар.16
10	46	46	46	48	49	48	48	47
20	76	76	75	81	83	82	81	77
30	97	96	95	105	109	107	106	98
60	135	133	129	149	158	153	151	136
90	154	152	147	173	186	179	176	157
120	166	163	158	188	203	195	192	169
150	174	171	166	199	216	207	203	178
180	180	177	171	206	225	215	211	184
210	185	182	175	212	232	222	217	188
240	188	185	178	217	238	227	222	192
300	194	190	183	224	246	234	229	197
360	197	193	186	229	252	240	234	201
420	200	196	189	232	256	244	238	204
540	203	199	192	237	262	249	243	208
660	206	202	194	241	266	253	246	210
780	208	203	195	243	269	255	249	212
900	209	205	197	245	271	257	251	213
1050	210	206	198	246	273	259	252	215
1170	211	206	198	247	274	260	253	215
1290	211	207	199	248	275	261	254	216
1410	212	207	199	249	276	262	255	216
1530	212	208	200	249	277	262	256	217
1650	213	208	200	250	278	263	256	217
1770	213	209	200	250	278	263	257	218

τ, сек	m, мг
	Вар. 17	Вар. 18	Вар. 19	Вар. 20	Вар. 21	Вар. 22	Вар. 23	Вар. 24
15	58	60	59	59	58	57	56	61
25	84	88	87	85	84	82	81	90
45	120	128	125	122	119	116	113	133
60	138	150	145	141	137	133	129	155
90	163	179	173	167	162	156	151	188
120	180	199	192	185	178	170	165	210
150	191	214	205	197	189	181	174	226
180	200	224	215	206	198	188	181	237
210	206	232	222	213	204	194	187	247
240	211	239	228	218	209	199	191	254
300	219	249	237	226	217	205	197	265
360	224	256	244	232	222	210	202	274
420	229	261	248	237	226	214	205	280
540	234	269	255	243	231	219	210	288
660	238	274	260	247	235	222	213	294
780	241	277	263	250	238	224	215	298
900	243	280	265	252	240	226	216	301
1020	244	282	267	253	241	227	218	303
1140	245	284	268	255	242	229	219	305
1260	246	285	270	256	243	229	219	307
1380	247	286	271	257	244	230	220	308
1500	248	287	271	258	245	231	221	309
1620	249	288	272	258	245	231	221	310
1740	249	289	273	259	246	232	221	311

τ, сек	m, мг
	Вар. 25	Вар. 26	Вар. 27	Вар. 28	Вар. 29	Вар. 30
20	95	93	92	88	87	77
40	148	144	140	132	129	118
60	182	175	169	159	154	143
90	214	205	197	183	176	167
120	235	225	215	198	190	182
150	250	238	227	208	200	192
180	261	248	236	216	207	200
210	269	255	243	222	212	206
240	276	261	248	226	216	211
270	281	266	253	230	220	214
330	289	274	259	235	224	220
390	295	279	264	239	228	224
450	300	283	268	242	231	227
570	306	289	273	246	235	232
690	311	293	276	249	237	235
810	314	295	279	251	239	237
930	316	298	281	252	240	238
1050	318	299	282	254	241	240
1170	320	300	283	255	242	241
1290	321	302	284	255	243	242
1410	322	302	285	256	244	242
1530	323	303	286	257	244	243
1650	324	304	286	257	244	243
1770	324	304	287	257	245	244

Розрахункова робота 4