3. Об’єм і зміст поняття
Кожен математичний об’єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має 4 сторони, 4 прямих кута, рівні діагоналі. Серед властивостей об’єкта розрізняють суттєві і несуттєві для його виділення серед інших об’єктів.
Суттєва властивість (характерна ознака) – це властивість, без якої об’єкт не може існувати (Н.: у квадрата всі сторони рівні).
Несуттєва властивість (нехарактерна ознака) – це властивість, відсутність якої не впливає на існування об’єкту (Н.: сторона АВ є вертикальною).
Кожне поняття характеризується терміном, об’ємом і змістом.
В С
А D
Зміст поняття – сукупність всіх взаємопов’язаних суттєвих властивостей об’єкта.
Об’єм поняття – це сукупність всіх об’єктів, які позначаються одним і тим же терміном.
Термін – це слово, що позначає поняття.
Між об’ємом і змістом існує обернений зв’язок: чим більший об’єм, тим менший зміст і навпаки.
Так, наприклад, об’єм поняття «прямокутний трикутник» менше об’єму поняття «трикутник», так як в об’єм першого поняття входять не всі трикутники. Але зміст першого поняття більше змісту другого: прямокутний трикутник має не тільки всі властивості трикутника, але і інші, які притаманні тільки прямокутним трикутникам.
Зміст прямокутного трикутника < об’єму трикутника
Зміст прямокутного трикутника > змісту трикутника
Початковий курс математики насичений різними математичними поняттями. Починаючи з першого класу і до четвертого учні знайомляться з такими поняттями, як цифра, число, доданок, сума, зменшуване, від’ємник, різниця, множник, добуток, ділене, дільник, частка, дріб, відрізок, трикутник, многокутник, квадрат, прямокутник, коло, круг, довжина відрізка, периметр, площа, куб, маса, ємність, час, вираз, рівняння, нерівність, рівність і багато інших.
Вчитель початкових класів повинен слідкувати за правильним визначенням понять, які формує в учнів.
Отже, кожне поняття характеризується терміном, об’ємом і змістом. Між об’ємом і змістом існує обернений зв’язок: чим більший об’єм, тим менший зміст і навпаки.
Питання для узагальнення
Які розрізняють властивості математичного об’єкта?
Чим характеризується кожне поняття?
4. Визначення поняття через рід і видову відмінність
Визначення тих суттєвих властивостей об’єкта, яких достатньо для розпізнавання об’єкта, називається визначенням поняття про цей об’єкт.
Визначення (означення) – це логічна операція, яка розкриває зміст поняття.
Визначення бувають явні і неявні.
Явні визначення мають форму рівності, співпадання двох понять. (Прямокутний – це з прямим кутом).
Неявні визначення не мають форми спів падання двох понять. Вони поділяються на контекстуальнії (зміст нового поняття розкривається через уривок тексту, через аналіз конкретної ситуації (Н., може бути визначення рівняння і його розв’язок, підручник для 2 класу. Тут після запису 3 + х = 9 та переліку чисел 2, 3, 6, і 7 іде текст «х – невідоме число, яке потрібно знайти. Яке із цих чисел треба поставити замість х, щоб рівність була вірною? Це число - 6». Із цього тексту слідує, що рівняння – це рівність з невідомим числом, яке потрібно знайти, а розв’язати рівняння – це значить найти таке значення х, при підстановці якого в рівнянні виходить вірна рівність) та остенсивні визначення використовуються для вводу термінів шляхом демонстрації об’єктів, які цими термінами позначаються. Тому остенсивні визначення називають ще визначенням шляхом показу. (Наприклад, таким способом визначаються в початковій школі поняття рівності та нерівності).
2 + 3 > 1 + 3 5 + 3 = 8
4 – 1 < 5 – 4 7 – 3 = 3 + 1
Це нерівність Це рівність
Генетичне визначення – визначення, в якому вказано спосіб побудови (визначення трикутника (поставимо три точки і послідовно їх з’єднаємо і утворюється трикутник)).
Індуктивне (рекурентне) визначення – визначення, з якого можна вивести формулу (визначення арифметичної прогресії).
У математиці даються означення понять через рід і видову відмінність, тобто задається об’єм і вказується характерна властивість. В явному означенні ототожнюються два поняття, одне з них означуване поняття, інше – означаюче (Н.: Проаналізуємо, наприклад, структуру визначення квадрата: «Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні». Вона така: спочатку означуване поняття яке визначаємо – «квадрат», а потім наведене означаюче поняття, яке включає властивості: бути прямокутником, мати всі рівні сторони. Властивість «бути прямокутником» вказує, що всі квадрати є прямокутниками, тобто поняття «прямокутник» є більш загальним, ніж поняття «квадрат». Його називають родовим по відношенню до поняття «квадрат». Властивість «мати рівні сторони» – це вказівка видової відмінності, яка відрізняє квадрат від інших видів прямокутника. Таку саму структуру мають і інші визначення шкільного курсу математики. Схематично структуру таких визначень можна подати таким чином:
Означуване поняття = родове поняття + видова відмінність
Означаюче поняття
Визначення понять за такою схемою називається визначенням через рід і видову відмінність.
У початковому курсі математики є небагато понять, яким дають визначення через рід і видову відмінність. Так, наприклад, визначають множення: «Додавання однакових доданків називається множенням». Але частіше при введенні понять в початковій школі використовують остенсивні і контекстуальні визначення. Іноді зустрічаються визначення, які містять і контекст і показ. Прикладом такого визначення є визначення прямокутника.
Отже, визначення (означення) – це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Визначення бувають явні і неявні.
У математиці даються означення понять через рід і видову відмінність, тобто задається об’єм і вказується характерна властивість. В явному означенні ототожнюються два поняття, одне з них означуване поняття, інше – означаюче.
Питання для узагальнення
Що є визначенням поняття?
Які бувають визначення?
Яка структура визначень?