Задача 8

Найти уравнение движения груза D или системы грузов D и Е отнеся их движение к оси х Начало отсчета совместить с положением статического равновесия. Если груз изображен штриховой линией, то он не участвует в колебательном движении, но является причиной его возникновения. В частности на схеме 1 колебания являются результатом подвеса груза Е к находящемуся в состоянии статического равновесия грузу D. На схеме 3 – наоборот: колебания являются результатом удаления груза Е от находящейся в состоянии статического равновесия системы грузов D и Е.

Если на схеме изображен символ ξ – закон движения другого конца пружины (точка В), то при исследовании колебательного движения следует рассматривать наложение свободных и вынужденных колебаний.

Таблица 8

Строка	mD, кг	mЕ, кг	с1, H/м	с2, H/м	с3, H/м	s, м	ξ , м	V0, м/c
1	1	6	100	200	500	1	5sin50t	2
2	2	8	200	400	600	2	sin100t	3
3	3	7	300	200	700	3	10sin300t	1
4	4	9	400	200	800	4	4sin20t	10
5	5	10	500	300	900	5	8sin200t	5

Пример решения задачи 8

В некоторый момент времени груз В (m =100 кг) устанавливают на плиту и отпускают (при недеформированной пружине) без начальной скорости. В этот же момент времени точка D (нижний конец пружины) начинает совершать движение по вертикали согласно закону ξ = 0.5 sin20t(см) (ось ξ направлена вниз). Коэффициент жесткости пружины c= 200 Н/см.

Примечание. Начало отсчета на оси x соответствует среднему положению точки В (ξ = 0).

Решение:

Применим к решению задачи дифференциальные уравнения движения точки.

Рис. 8.1

Направим ось x вниз, в сторону движения груза В. (рис. 8.1) Движение груза В определяется по следующему дифференциальному уравнению:

mẍ = ∑X_i,

Таким образом,

mẍ = mg - F_упр.

Здесь

F_упр= cλ= c(λ_ст+X – ξ),

где λ- деформация пружины,

откуда

mẍ = my – cλ_ст – cx + cξ (1)

Статическую деформацию пружины λ_стнайдем из уравнения равновесия, соответствующего состоянию покоя груза В (рис. 8.2) :

B

Х

Рис.8.2

∑X_i= 0;

mg – F_упр = 0,

mg – сλ_ст= 0,

λ_ст = mg/c. (*)

Дифференциальное уравнение движения груза В примет вид

mẍ = mg – сmg/c – cx + c·0,5sin20t,

или после преобразования

mẍ + cx = с·0,5sin20t.

Разделив все члены уравнения на m и введя обозначения

c/m = ω², c·0,5/m = h,

приведем дифференциальное уравнение к следующему виду:

ẍ + ω²x = hsinpt. (2)

Решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения x₁ соответствующего однородного уравнения и частного решения x₂ данного неоднородного уравнения:

x = x₁ + x₂.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

x₁ = С₁sinωt + С₂cosωt.

Тогда

x₁= С₁sin14t– С₂cos14t,

где

ω = = = ≈ 14 рад/с

Частное решение неоднородного уравнения:

x₂ = h/(ω² – p²)sinpt.

Тогда

x₂= − sinpt,

где

ω² = 200, p² = 400, h = 0,5.

Общий интеграл имеет вид

x = С₁sin14t + С₂cos14t− sin20t.

Для определения постоянных интегрирования с₁ и с₂ найдем, кроме того, уравнение для ẋ

ẋ = − С₁14cos14t – С₂sin14t − cos20t

и используем начальные условия задачи.

Рассматриваемое движение начинается в момент ( t = 0) , когда деформация пружины является статической деформацией под действием груза В. При принятом положении начала отсчета О начальная координата груза В равна x₀= −λ_ст, причем λ_ст = mg/c – статическая деформация пружины под действием груза В. Таким образом, при t = 0

x₀ = − λ_ст, ẋ= 0.

Составим уравнения x = x(t) и ẋ = ẋ(t) для t = 0:

ẋ= 14С₁ − ; x₀ = С₂,

откуда

С₁= , С₂ = − λ_ст.

Найдем числовые значения входящих в уравнение величин:

ω = = = ≈ 14 рад/с;

λ_ст= = = 0,05 м;

= = - м;

Следовательно, уравнение движения груза В

x= 0,003sin14t – 0,05cos14t – 0,0025sin20t (м).

1 x	2
3	4
5 B	6
7	8
9	1 0
1 1	1 x 2
1 c3 3	1 4
1 5	16
17	1 8
1 9	2 0
2 1	2 2
2 3	2 4