Кинематика задача 4

Движение точки задано уравнением S=n·t², где S - расстояние в метрах, отсчитывается от точки О; t - время в секундах. Траектория движения представлена ниже. Определить аналитически и изобразить в масштабе графически скорость, нормальное, касательное и полное ускорения точки в положениях 1, 2 на траектории. Данные взять из табл. 4.

Таблица 4

Строка	n, м·с-2	l	R1	R2	K	α, град.	β, град.
		м
1	0,1	6	1	2	0,5	π/4	π/3
2	0,2	8	2	4	0,6	π/6	π/2
3	0,3	7	3	2	0,4	π/3	π/6
4	0,4	9	4	2	0,3	π/2	π/4
5	0,5	10	3	5	0,2	π/3	π/2

Пример решения задачи 4

Движение точки М задано уравнением S=0,2·t², где S - расстояние в метрах, отсчитывается от точки О, t - время в секундах. Траектория движения изображена на рис. 4.1.

Определить аналитически и изобразить в масштабе графически скорость, нормальное, касательное и полное ускорение точки в положениях 1 и 2 на представленной траектории.

Рис.4.1

Дано:

S = 0,2·t²;

l = 8 м; k = 0,6;

R₁ = 2 м; R₂ = 4 м;

α = π/6 град.; β = π/2 град.

Найти: V₁; V₂; aⁿ₁; a^τ₁; a₁; aⁿ₂; a^τ₂; a₂

Решение: 1) Определим точку М в положениях 1 и 2 согласно данным задачи (рис.4.2).

Рис.4.2

2. Определим значение дуговой координаты точки М в положениях 1 и 2.

S₁ = = 3,14 + 6,28 = 9,42 м.

S₂ = + (l – kl) = 3,14 + 6,28 + 3,2 = 12,62 м.

2. Определим время, которое понадобится точке М для достижения положений 1 и 2.

S = 0,2·t²

0,2·t₁² = S₁

t₁ = = = 6,86 c

0,2·t₂² = S₂

t₂ = = = 7,94 c

2. Определим скорость точки М в положениях 1 и 2

V = = 0,4·t

Скорость точки М в положении 1

V₁ = 0,4·t₁ = 0,4 · 6,86 = 2,74 м/с.

Т.к. V₁ > 0, вектор совпадает по направлению с дуговой координатой S.

Скорость точки М в положении 2

V₂ = 0,4·t₂ = 0,4 · 7,94 = 3,18 м/с.

Т.к. V₂ > 0, вектор совпадает по направлению с дуговой координатой S.

2. Определим ускорение точки М в положениях 1 и 2. Полное ускорение точки определяется выражением:

Касательное ускорение точки М

= 0,4 м/с².

Т.к. > 0, вектор совпадает по направлению с вектором , a вектор совпадает по направлению с вектором .

Нормальное ускорение точки М

= 1,88 м/с².

= 0.

Ускорение точки М в положении 1

= 1,92 м/с².

Ускорение точки М в положении 2

= 0,4 м/с².

Ответ: V₁ = 2,74 м/с; V₂ = 3,18 м/с; = 1,88 м/с²; = 0,4 м/с²; = 0; = 0,4 м/с; = 1,92 м/с²; = 0,4 м/с².

1 kl1 0	2
3 0	4
5	6
7 1 kl	8
9 l	1 0
1 1	1 1 2
1 α 3	1 4
1 5	1 6
1 0 7	1 8
1 9	20
2 1	2 2
23	2 4