1.9. Лабораторная работа № 9
Метод стрельбы
1.9.1. Методические указания
Метод стрельбы рассматривается для граничной задачи системы дифференциальных уравнений
(9.1)
Необходимо
найти решение системы уравнений,
удовлетворяющей граничным условиям на
интервале
;
(9.2)
,
(9.3)
где
и
могут быть нелинейными функциями.
Сущность метода стрельбы – сведение граничной задачи к многократному решению задачи Коши.
Положим
,
где L
– произвольное число.
Подставим в первое граничное условие
(9.4)
Это
соотношение рассматриваем как уравнение
относительно
,
решаем его, получаем начальные условия
L
и
,
для которых строим задачу Коши для
системы (9.1).
Для
решения задачи Коши применяем метод
Рунге-Кутта, получаем решение в конечной
точке
:
.
(9.5)
Полученные результаты (9.5) подставляем во второе граничное условие (9.3).
Оно, естественно, не выполняется, т.к. L выбрано произвольно
.
(9.6)
Решаем как уравнение относительно переменной L. Корень этого уравнения L=L* будет удовлетворять граничному условию (9.6).
Решение уравнения (9.6) выполняется методом секущих
,
(9.7)
где j - номер итерации.
Для линейной задачи решение уравнения (9.6) упрощается.
Получаем следующий алгоритм:
1.
Выбор числа
и определение
из уравнения (9.2).
2.
Решается полученная задача Коши методом
Рунге-Кутта, в результате чего определяется
и
.
3. Проверка условия (9.3) и определение нового L методом секущих (9.7),
4. Повторение итерации с п.1, процесс завершается, если удовлетворяется второе граничное условие с заданной точностью .
1.9.2. Порядок выполнения работы
1. Составьте программу метода стрельбы для уравнения Бесселя в соответствии с данными табл.1.4 на интервале [0,5; 1,0].
Уравнение можно представить в виде системы
(9.8)
(9.9)
где p – параметр, определяющий порядок цилиндрической функции, являющейся решением уравнения Бесселя (р=1).
2.
Проведите вычисления в соответствии с
вариантом табл. 1.4 с точностью
.
3. Ответьте на вопросы
1. От каких причин зависит погрешность данного метода?
2. Каков порядок построения алгоритма метода стрельбы?
3. Как получить из системы (9.8) уравнение Бесселя второго порядка?
Таблица 1.4
№ варианта |
g1 |
g2 |
g3 |
g4 |
g5 |
g6 |
1 |
0,8 |
0 |
1,2 |
0 |
1 |
1,9 |
2 |
1 |
0 |
0,8 |
1 |
0 |
2,1 |
3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1,9 |
4 |
1 |
1 |
0,78 |
1 |
0 |
2,1 |
5 |
0 |
1 |
0,9 |
1 |
1 |
1,8 |
6 |
0 |
1 |
1,2 |
1 |
0 |
2,1 |
7 |
1 |
0 |
0,8 |
0,8 |
0 |
1,7 |
8 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1,9 |
9 |
0 |
1 |
1,4 |
1,4 |
1,4 |
1,8 |
10 |
0 |
1 |
1,3 |
0 |
1 |
2,1 |
11 |
1 |
1 |
0,9 |
0 |
1 |
2,3 |
12 |
0 |
1 |
1,2 |
1,2 |
1,2 |
1,8 |
13 |
1 |
1 |
0,9 |
1,3 |
1,3 |
2,1 |
14 |
0,9 |
1 |
1,2 |
0,6 |
1,2 |
2,1 |
15 |
0 |
1 |
0,7 |
1 |
0 |
1,9 |