1.5. Лабораторная работа № 5
Метод Адамса
1.5.1. Методические указания
Метод применяется к задаче Коши
.
(5.1)
Отрезок аргумента, являющийся областью допустимых значений искомой функции y, разбивается на части с шагом h:
.
Метод Адамса относится к разностным методам и является методом прогноза и коррекции.
Формулы
Адамса получены на основе интерполяции
или
,
используется для этого вторая
интерполяционная формула Ньютона.
Первая формула Адамса или экстраполяционная формула имеет вид
, (5.2)
т.е. решение вначале ищется на данной формуле прогноза.
Далее решение уточняется по формуле коррекции (вторая интерполяционная формула Адамса)
. (5.3)
Для первоначального использования этих формул необходимо знать значение функции в первых 4 точках разбиения, эти значения определяются другими методами, например, методом Рунге-Кутта.
Значения
вычисляются в соответствии с (5.1) по
.
1.5.2. Порядок выполнения работы
1. Составьте программу метода Адамса, включив в нее для определения 4-х начальных значений функции программу метода Рунге-Кутта.
2. Введите данные в соответствии с вариантом табл. 1.1 и получите таблицу решений.
Выдержите заданную погрешность , используя правило Рунге.
Исходные данные взять из табл.1.1.
3. Ответьте на воросы:
1. Какова точность метода Адамса при разложении функции в ряд Тейлора?
2. В чем отличие метода Адамса от метода Рунге-Кутта?
3. Является ли метод Адамса одношаговым?
4. Как определить решение в начальных точках?
5. Как оценить погрешность полученного решения?
1.6. Лабораторная работа № 6
Метод Милна
1.6.1. Методические указания
Рассматривается задача Коши (5.1).
Аналогично на заданный отрезок аргумента накладывается сетка с шагом h
.
Метод Милна является также методом прогноза и коррекции. Так же, как в методе Адамса, первые четыре значения функции определяются методом Рунге-Кутта.
Дальнейшие вычисления проводятся по формулам Милна, которые получены на базе первой интерполяционной формулы Ньютона.
Первая экстраполяционная формула (прогноза) Милна имеет вид
.
(6.1)
После
вычисления значения функции
ее производная вычисляется как
.
Второе приближение определяется по формуле коррекции
.
(6.2)
Милн показал, что абсолютная погрешность оценивается
,
(6.3)
где
- второе приближение решения, определяемое
по формуле (6.2);
-
первое приближение, определенное по
формуле (6.1).
Если искомое решение следует искать с погрешностью , то на каждом шаге необходимо проверять условие (6.3), если условие не выполняется, то следует уменьшить шаг h.
1.6.2. Порядок выполнения работы
1. Составьте программу метода Милна с коррекцией шага h. задается исполнителем. Для определения функции в первых 4 точках включите программу метода Рунге-Кутта.
2. Проведите вычисления для построения таблицы решения с выбранным . Использовать варианты данных табл. 1.1.
3. Ответьте на вопросы:
1. В чем заключается алгоритм коррекции шага?
2. Каковы недостатки метода Милна?
3. В чем отличие метода Милна от метода Адамса?
4. Как построить начало таблицы решений?
5. Какова точность метода Милна?