3.3. Лабораторная работа № 19
Метод коллокаций для интегральных уравнений
3.3.1. Методические указания
Интегральное уравнение Фредгольма
.
(3.1)
Приближенное решение ищется в виде
,
(3.2)
где
- координатные функции линейно независимые;
- неопределенные коэффициенты;
-
невязка.
Подставляя (3.2) в (3.1), получаем значение невязки, если =0, то получено решение уравнения (3.1).
По методу коллокаций невязка должна обращаться в нуль в выбранных точках коллокации на отрезке [a, b], из полученной системы уравнений определяются коэффициенты .
Тогда система для определения коэффициентов :
(3.3)
Если определитель этой системы отличен от нуля, то решение этой системы дает коэффициенты , подстановка которых в (3.2) реализует приближенное решение. Решение системы (3.3) можно получить методом Гаусса.
3.3.2. Порядок выполнения работы
1. В соответствии с заданным вариантом табл. 3.1 составьте программу метода коллокаций. Шаг и пределы интегрирования выберите самостоятельно. Для решения системы (3.3) включить в программу метод Гаусса.
2. Получите таблицу решений и приближенное решение. Точность выбранного достигнуть сравнением двух соседних членов ряда (3.2).
3. Ответьте на вопросы:
1. Какое количество точек коллокаций необходимо выбрать для построения системы (3.3)?
2. Можно ли метод коллокаций отнести к проекционным методам?
3. Как выдержать заданную погрешность ?
3.4. Лабораторная работа № 20
Метод моментов для интегральных уравнений
3.4.1. Методические указания
Рассматривается уравнение Фредгольма второго рода вида (3.1)
=0. (4.1)
Приближенное решение ищется в виде ряда
,
(4.2)
где - система базисных независимых функций;
- неопределенные коэффициенты.
Подстановка
решения (4.2) в уравнение (3.1) дает значение
невязки. Выбор коэффициентов
осуществляется по условию минимизации
невязки, выбирается ортогональность
невязки и базисных функций
.
.
(4.3)
Это условие эквивалентности системы алгебраических уравнений
(4.4)
где обозначено:
;
(4.5)
;
(4.6)
.
(4.7)
Если определитель системы отличен от нуля, то одним из численных методов решается система алгебраических уравнений (4.4), найденные коэффициенты подставляются в решение (4.2), получается приближенное решение.
3.4.2. Порядок выполнения работы
1. В соответствии с заданным вариантом подготовьте по таблице 3.1 программу метода моментов. Составьте систему алгебраических уравнений вида (4.4), для вычисления интегралов для ее коэффициентов примените кубатурные формулы приближенного численного интегрирования. Для решения системы (4.4) включите в программу метод Гаусса.
2. Проведите расчет, получите решение в виде ряда (4.2) и таблицы решений.
3. Ответьте на вопросы:
1. Как выдержать заданную погрешность при применении метода?
2. В чем разница метода моментов и метода коллокации?
3. В чем состоит идея задачи на собственное значение для интегральных уравнений?
4. Можно ли отнести метод моментов к проекционным методам?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демидович Б.П., Марон И.И., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Физматгиз, 1963. – 400 с.
2. Лаврентьев Г.В. Применение конечных элементов к решению краевых задач эллиптического и параболического типа. – Барнаул:АГУ, 1983. – 80 с.
3. Лебедев А.Г. Лекции по численным методам (Обыкновенные дифференциальные уравнения). – Рубцовск: Рубцовский индустриальный институт, 2002. – 56 с.
4. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2002. – 840 с.
Альберт Георгиевич Лебедев
Лабораторный практикум по численным методам в дифференциальных уравнениях
Методические указания и задания к лабораторным работам для студентов специальности «Прикладная математика»
Редактор Е.Ф. Изотова
Подготовка оригинала-макета О.В. Щекотихина
Подписано к печати 29.03.11. Формат 60х84 /16.
Усл. печ. л. . Тираж экз. Заказ 11-968. Рег. № 56.
Отпечатано в РИО Рубцовского индустриального института
658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6.