Тема 3. Введение в раздел «Динамика». Принцип Даламбера – 2 часа

План лекции:

1. Предмет динамики. Основные законы динамики.

2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две задачи динамики.

3. Принцип Даламбера.

Краткое содержание лекции

1. Динамика является основным и наиболее общим разделом теоретической механики. В динамике изучают зависимость между движением материальных объектов и действующими на них силами.

Соотношения между основными понятиями динамики определяются аксиомами или основными законами движения, данными Ньютоном.

1 закон. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

2 закон (основной). Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и совпадает с ней по направлению.

Математически этот закон можно записать в виде I

(6.1)

где - ускорение точки, т - характеризует инертные свойства точки и называется массой.

3 закон (действия и противодействия). Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

Если на материальную точку действует система сил , то действие каждой из сил не зависит от действия остальных и каждая из сил сообщает точке такое ускорение, какое она ей сообщила бы, если бы действовала одна, а под действием системы сил точка получает ускорение

где . в этом заключается принцип независимости действия сил.

2. Так как ускорение точки связано с ее радиус-вектором , а сила в рамках классической механики может быть функцией времени, положения и скорости точки, из уравнения (6.1) получаем векторное дифференциальное уравнение движения точки:

. (6.2)

В проекциях на декартовы оси (базис ) дифференциальные уравнения движения точки имеют вид

;

; (6.3)

;

Здесь - проекции ускорения точки на координатные оси, проекции равнодействующей сил, действующих на точку.

На основе дифференциальных уравнений движения материальной точки решают две задачи динамики точки: 1) по движению определить силы, производящие данное движение. Эту задачу называют прямой задачей динамики. 2) - даны силы, действующие на данный материальный объект; требуется определить движение этого объекта под действием данных сил. Эту задачу называют второй задачей динамики.

3. Принцип Даламбера

Цель лекции - изложить принцип Даламбера для материальной точки и механической системы

План лекции

3.1 Принцип Даламбера для материальной точки;

3.2 Принцип Даламбера для механической системы.

3.1 Принцип Даламбера сформулирован в 1743 году и первоначально, в отличие от законов Ньютона, был предназначен для изучения движения несвободных механических систем. В настоящее время этот принцип и вытекающий из него метод кинетостатики рассматривают как удобный прием для определения реакций связей и сил взаимодействия, а также для составления дифференциальных уравнений движения механических систем. В соответствии с аксиомами динамики основное уравнение движения материальной точки имеет вид:

, (6.4)

где - равнодействующая активных сил; - равнодействующая реакций связей; - абсолютное ускорение точки.

Уравнение (6.4) можно также записать в виде

Слагаемое (-та) обозначают и называют Даламберовой силой инерции (или просто силой инерции). Основное уравнение динамики материальной' точки при использовании силы инерции принимает следующий вид:

(6.5)

Так как „указанные выше силы образуют систему сходящихся сил, то уравнение (6.5) можно рассматривать как условие равновесия системы сил ( ). В этом и состоит принцип Даламбера для материальной точки: при движении материальной точки в любой момент времени приложенные к ней активные силы и реакции связей вместе с силой инерции образуют систему сил, эквивалентную нулю, т.е.

0 (6.6)

В проекциях на оси декартовой системы координат имеем

(6.7)

где ; ; ; в проекциях на оси естественного трехгранника получаем:

(6.8)

где ;

Предоставление основного уравнения динамики материальной точки в виде (6.5) слёдует рассматривать как прием, удобный для решения задач, например для определения сил взаимодействия и реакций связей.

Контрольные задания для СРС – рассмотреть и решить следующую задачу самостоятельно: груз массой т движется по наклонной плоскости с углом наклона ; коэффициент трения груза о плоскость равен . Одинаковы ли дифференциальные уравнения движения груза по этой плоскости йниз и вверх? [1-4] Рассмотреть сложное движение точки с применением понятия силы инерции [1-4]