5.5 Выделение областей устойчивости системы.

Критерии устойчивости позволяют определить устойчива ли система регулирования, если все ее параметры - конструктивные, настроечные заданы. Однако динамические характеристики объекта регулирования и настройки регулятора в процессе эксплуатации могут изменяться в определенных пределах. В связи с этим возникает задача определения совокупности значений параметров, при которых система регулирования заданной структуры остается устойчивой.

Предположим, что в характеристическом уравнении системы регулирования

(5-17)

все коэффициенты, за исключением двух, например изаданы. Построим плоскость с прямоугольными координатамии. В квадрантеипроизвольно выбираем точку, для которой соответствуют коэффициентыи. Подставив их значения в характеристическое уравнение системы, определим корни этого уравнения. Если все найденные корни уравнения расположены слева от мнимой оси на комплексной плоскости корней, то это будет означать что система устойчива. Точку, выбранную на плоскостис координатамииобозначим (-).

Выберем произвольно вторую точку с координатами ии, подставив в характеристическое уравнение значения этих коэффициентов, определим его корни. Если хотя бы один корень будет расположен справа от мнимой оси плоскости корней, то обозначим эту точку знаком (+), т.е. система регулирования при этом будет неустойчива.

Если при ихотя бы одна пара корней лежит на мнимой оси комплексной плоскости корней, обозначим точку на плоскости коэффициентовнулем, что означает границу устойчивости системы регулирования.

Повторяя последовательно этот процесс, дадим коэффициентам ивсе возможные значения, отметим точки на плоскостизнаками (-), (+),0 и проведем кривую через точки отмеченные нулем.

Рис. 5.6 Плоскость коэффициентов.

Эта кривая будет границей устойчивости в плоскости двух коэффициентов ихарактеристического уравнения системы регулирования. (Рис. 5.6)

Часть плоскости, включающая совокупность точек со знаком (-) называется областью устойчивости, а часть плоскости со знаком (+) – областью неустойчивости.

Область устойчивости в плоскости двух параметров системы была впервые выделена И.А. Вышнеградским в 1877 г., профессором С-Петербургского технологического института.

Аналогично весь процесс может быть проделан для любых других коэффициентов характеристического уравнения системы, например, для трех, и в этом случае получают объем устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения.

Работы, в которых завершена разработка приемов выделения областей устойчивости и изложена общая точка зрения на разные критерии устойчивости были выполнены в России Ю.И. Неймарком.

Выделение области или объема устойчивости называют Д-разбиением плоскости или пространства параметров системы или определением границы ее устойчивости. Границу устойчивости называют границей Д-разбиения, имея ввиду обозначения характеристического уравнения . Переход через границу Д-разбиения соответствует в плоскости корней переходу корней через мнимую ось. (Рис. 5.7)

Рис. 5.7 Плоскость корней характеристического уравнения.

Отсюда следует метод определения границы Д-разбиения. Она определяется параметрически заменой в исследуемом полиноме – характеристическом уравнении на, где- переменная величина, и может быть построена при измененииот -∞ до ∞. В этом смысле граница Д-разбиения есть отображение мнимой оси комплексной плоскости корней на плоскости коэффициентов характеристического уравнения.

Пример построения границы Д-разбиения и выделений области устойчивости для системы регулирования турбины, работающей в электрическую сеть.

-уравнение ротора; (5-17)

-уравнение главного усилителя; (5-18)

-уравнение промежуточного усилителя; (5-19)

-уравнение регулятора скорости. (5-20)

Здесь - относительная частота вращения ротора турбины,

–относительные величины перемещения поршней сервомоторов усилителей системы регулирования турбины;

-относительная величина перемещения муфты регулятора скорости;

-динамическая постоянная ротора турбины;

и- времена сервомоторов;

- коэффициент неравномерности регулятора скорости.

;;.

Параметром настройки регулятора скорости является коэффициент .

Необходимо определить возможный диапазон изменения коэффициента неравномерности , значения которого обеспечивали бы устойчивый процесс регулирования турбины.

Применим метод Д-разбиения для определения границы устойчивости работы АСР турбины по отношению к настроечному параметру . Обозначим.

Характеристическое уравнение АСР турбины в общем виде:

, (5-21)

где ;;;.

Решим характеристическое уравнение относительно .

(5-22)

Заменим ,

(5-23)

Выделим в этом уравнении вещественную и мнимую составляющие:

-вещественная составляющая

-мнимая составляющая

Построим границу Д-разбиения в комплексной плоскости , задаваясь значениямив диапазоне от -∞ до ∞.

Рис. 5.8 Построение границы устойчивости.

В результате построения границы Д-разбиения получают на вещественной оси комплексной плоскости две граничные точки параметраk:,или при, а(Рис. 5.8).

Поскольку в плоскости корней характеристического уравнения область устойчивости находится слева от мнимой оси плоскости корней, то при движении вдоль границы Д-разбиения в сторону возрастания , область устойчивости располагается так же слева. Штриховкой определяем эту область. Следовательно устойчивая работа АСР турбины возможна при значениях коэффициента неравномерностипри его значениях больше 0,0042.

Для построения области устойчивости по двум параметрам в характеристическое уравнение подставляют и после разделения действительной и мнимой его части получают систему двух уравнений, определяющую кривую Д-разбиения. Если эти уравнения совместны, т.е если их совместное решение не приводит к противоречивому результату и линейно независимы (не равносильны), то каждому значениюсоответствует одна пара неизвестных значений параметров и, следовательно, одна точка на плоскости.

При некоторых значениях уравнения могут стать равносильными. В этом случае для данного значенияполучается не точка, а кривая или прямая, которая называется особой. Обычно особые прямые появляются при значенияхи, что соответствует переходу корня характеристического уравнения из левой части плоскости корней в правую ее часть через значение нуль или бесконечность. Особая прямая, соответствующая обращения корня в нуль, определяется из условия равенства нулю свободного члена характеристического уравнения. Особая прямая, соответствующая обращению корня в бесконечность, получается при приравнивании нулю коэффициента при старшем члене характеристического уравнения.

Построив основную кривую Д-разбиения и дополнив ее особыми прямыми, находят область устойчивости, используя правила штриховки для ее определения, путем проверки соблюдения условий устойчивости для такой точки, находящейся внутри устойчивого регулирования, для которой вычисления производятся наиболее просто.

Правила штриховки границы Д-разбиения и определения области устойчивости. Если главный определитель полученной системы уравнений больше нуля, то при измененииот -∞ до ∞ штрихуется левая сторона кривой, если главный определитель меньше нуля, то следует штриховать правую сторону кривой Д-разбиения.

Особые прямые штрихуются так, чтобы вблизи точек пересечения их с основной кривой Д-разбиения штриховка была направлена согласно со штриховкой основной кривой. Если при переходе через точку пересечения знак главного определителя меняется, то направление штриховки особой прямой по обе стороны от точки пересечения различно. Если знак главного определителя не меняется, то особую прямую можно не штриховать, так как она является граничной.

Конструктивные и настроечные параметры системы должны обеспечивать достаточный запас устойчивости в ее работе. Чем дальше от поверхности или кривой, ограничивающих область устойчивости, находится рассматриваемая точка, тем большим запасом устойчивости обладает система.