5.3 Критерий устойчивости Михайлова.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-ой степени с действительными коэффициентами.

(5-7)

где,,…,- корни этого уравнения.

На комплексной плоскости корней (Рис. 5.1) каждому корню соответствует вполне определенная точка или две точки для сопряженных корней.

1. Рис 5.1 Комплексная плоскость корней.

Теоретически каждый корень изображается в виде вектора, проведенного из начало координат в точке. Длина этого вектора равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, аргументу или фазе комплексного числа–.

Изменение положения корня в плоскости комплексного переменного ведет к изменению аргумента-.

Положив в характеристическом уравнении, получим изменение аргумента вектора–.

Если все корни характеристического уравнения находятся слева от мнимой оси, то согласно теореме Ляпунова система будет устойчива, а при изменении частот векторбудет поворачиваться в положительном направлении – против часовой стрелки. При изменении частот от -∞ до ∞ изменение вектора будет равно,

где - степень характеристического уравнения, определяющая число его корней,- наибольшее изменение аргумента.

При изменении от -∞ до ∞ векторна плоскости комплексного переменного описывает своим концом кривую, которая называется характеристической кривой или годографом вектора.

Уравнение характеристической кривой можно найти, подставив в многочлен.

(5-8)

Отделяя в нем действительную часть от мнимой, получим

(5-9)

где - действительная часть,

- мнимая часть.

Действительная часть является четной функцией , все степени ее членов четные, начиная с нулевой (первый член), а мнимая- нечетной функцией.

Поэтому для отрицательных значений

(5-10)

Следовательно, характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси, поэтому при построении характеристической кривой можно ограничится лишь положительными от 0 до ∞, тогда угол поворота вектора, т.е. изменение аргумента, уменьшится вдвое.

Следовательно, критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом: замкнутая АСР будет устойчива, если при возрастании от 0 до ∞ векторповернется в положительном направлении на угол, где- степень характеристического уравненияили, что то же самое, если характеристическая кривая при измененииот 0 до ∞, начиная с положительной действительной оси, обходит последовательно в положительном направленииn-квадрантов комплексной плоскости.

В такой форме критерий устойчивости был предложен А.В.Михайловым в 1938 г.

Характеристическая кривая при изменении от 0 до ∞ будет обходитьnквадрантов в положительном положении, если уравнения

;

имеют все действительные и перемежающиеся корни, т.е. между каждыми двумя соседними корнями уравнения лежит один корень уравненияи наоборот, между двумя соседними корнями уравнениялежит один корень уравнения.

Система будет находится на границе устойчивости, если характеристическая кривая при некотором значении пересекает начало координат, обходя при этом (n-1) квадрантов.(Рис. 5.2)

1. Рис 5.2 Характеристические кривые.

2. а) устойчивые системы б)неустойчивая система в) система на границе устойчивости.

Свойства годографа вектора :

1) Годограф представляет кривую, всегда симметричную относительно действительной оси комплексной плоскости. Это следует из того, что - функция четная, а- нечетная функция переменной.

2) При годограф пересекает действительную ось в точке, отстоящей от начало координат на расстоянии, равном значению-свободного члена характеристического уравнения.

3) Максимально возможное число пересечений полуветви годографа с действительной осью равно , при- четном и, при нечетном, где- степень характеристического уравнения.

Значение , отвечающее точкам пересечения годографа с вещественной осью, определяются из уравнения.

4) Максимально возможное число пересечений полуветви годографа с мнимой осью равно при- четном ипри нечетном. Значение, отвечающее точкам пересечения годографа с мнимой осью, определяются из уравнения.

Методы построения годографа Михайлова. 1) Характеристическая кривая строится последовательно, задаваясь значениями частот от 0 до ∞ в уравненияи.

2) Метод контрольных точек, при котором построение характеристической кривой не обязательно. Вычисления ограничиваются нахождением только точек пересечения годографа с осями. Расположения этих точек позволяет судить об устойчивости системы. Их находят из уравнений ии они должны быть перемежающимися.