2.5. Определение параметров эмпирической формулы
После того как вид эмпирической зависимости выбран, решается задача определения наилучших коэффициентов (параметров), входящих в эту формулу. Как правило, поиск параметров осуществляется для эмпирической формулы, приведенной к линейному виду. В основном, применяются три метода: метод выбранных точек, метод средних и метод наименьших квадратов. Последний метод был рассмотрен ранее.
2.5.1. Метод выбранных точек
Пусть эмпирическая формула имеет вид (2.35) Требуется найти значение коэффициентов а и b.
Наносим на координатную плоскость опытные точки (Xi,Yi). Как можно ближе к этим точкам проводим прямую (приближающая прямая). На этой прямой выбираем две (по числу параметров) произвольные точки N1(X1,Y1) и N2(X2,Y2), не обязательно совпадающими с точками (Xi,Yi) и как можно дальше удаленными друг от друга. Координаты этих точек подставляем в уравнение (2.35), получаем систему:
|
Y1 = a∙X1 + b Y2 = a∙X2 + b |
(2.39) |
Решая ее, находим а и b.
Пример 2.5: По опытным данным (табл. 2.11) определить коэффициенты эмпирической зависимости (2.37).
Для определения коэффициентов формулы (2.37) используем ее линейный вид (2.38). Значения переменных Y= ln(y) и t берутся из табл. 2.11 (строки 1 и 5). График зависимости Y=f(t) приведен на рис.4. Выберем на прямой произвольные точки N1(X1,Y1) и N2(X2,Y2). Координаты этих точек N1(3; 4.054), N2(24; 1.872) подставим в уравнение (2.38) и получим следующую систему:
|
4.054 = ln(a) + b∙3 |
(2.40) |
|
1.872 = ln(a) + b∙24 |
|
Решив систему уравнений (2.40), найдем значения коэффициентов формулы (2.38):
ln(a) = 4.3657 b = – 0.1039
Переходя к исходному виду формулы (2.37) и определив коэффициент а (а = 78.705), получим окончательный вид эмпирической формулы:
|
y = 78.705∙exp(–0.1039∙b) |
(2.41) |
Сравнение значений
,
вычисленных по формуле (2.41), с опытными
данными yi
(табл. 2.11, строка 2) приведено
в табл.2.12.
Таблица 2.12
Оценка точности формулы (2.42)
-
I
ti
yi
Y = – yi
Y 2
1
3
57.6
57.628
–0.0280
0.000784
2
6
41.9
42.195
0.295
0.087025
3
9
31.0
30.895
–0.105
0.011025
4
12
22.7
22.622
–0.0784
0.006147
5
15
16.6
16.564
–0.0364
0.001325
6
18
12.2
12.128
–0.0721
0.005198
7
21
8.9
8.880
–0.020
0.00040
8
24
6.5
6.502
0.002
0.000004
Y 2 = 0.11191