2.5. Обратное интерполирование

Пусть функция у = f(х) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному зна­чению функции у определить соответствующее значение ар­гумента х.

Если узлы интерполяции x₀, x₁, x₂, … x_n неравноотстоящие, задача легко решается с помощью интерполяционной формулы Лагранжа (3.5). Для этого достаточно принять у за независи­мую переменную, а х считать функцией. Тогда получим

x = (3.21)

Пример 3.3. Данные по плотности  водных растворов хлорида магния в зависимости от его концентрации С при температуре 293 К приведены в таблице 3.7:

Таблица 3.7

Плотность  водных растворов хлорида магния

С, %	2,00	4,00	8,00	16,00
, г/см3	1,0146	1,0311	1,0646	1,1342

Определить, при какой концентрации плотность раствора хлорида маг­ния будет равна 1,1031 г/см³.

Решение. Обозначим х = С, у = . По формуле (3.22) находим:

x = 2,00  +

+ 4,00  +

+ 8,00 

+ 16,00   12,48.

Таким образом,  = 1,1031 г/см³ при С = 12,48 %.

Рассмотрим теперь задачу обратного интерполирования для случая равноотстоящих узлов интерполяции. Предположим, что функция f (х) монотонна и данное зна­чение у содержится между y₀=f(x₀) и y₁ = f(x₁).

Заменяя функцию у первым интерполяционным многочле­ном Ньютона, получим:

y = y₀ + qy₀ + ²y₀ + ³y₀ + …+ ⁿy₀ .

Отсюда

q = ²y₀ – …–ⁿy₀ ,

т.е. q =  (q).

Величину q определяем методом последовательных при­ближений как предел последовательности:

q = lim qi , i

где q_i =  (q_i-1) (i=1, 2,…).

За начальное приближение принимаем

q0 =

(3.22)

Для i-го приближения имеем:

qi = q0 – 2y0 – …–ny0 .

(3.23)

На практике процесс итерации продолжают до тех пор, пока не установятся цифры, соответствующие требуемой точ­ности, причем полагают q  q_m , где m — последнее из найденных приближений. Найдя q, определяем х по формуле

= q,

откуда

х = x0 + qh .

(3.24)

Мы применили метод итерации для решения задачи обрат­ного интерполирования, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. Аналогично можно применить этот способ и ко второй формуле Ньютона:

y = y_n + qy_n–1 + ²y_n–2 + ³y_n–3 + …

+ ⁿy₀ .

Отсюда

q = ²y_n–2 – …–ⁿy₀ .

Обозначим q₀ = — начальное приближение.

Для i-го приближения имеем:

qi = q0 – 2yn–2 – …–ny0 .

(3.25)

Найдя

q = lim qi , i

определим х по формуле

х = xn + qh .

(3.26)

Пример 3.4. Пользуясь табл. 3.5 примера 3.2 определить, при какой температуре вязкость воды равна 1,262 мПа  с.

Решение. Заданное значение у =  = 1,262 содержится между у₀ = ₀ = 1,308 и y₁ = ₁ = 1,203. Поэтому за начальное значением y принима­ем у₀ = 1,308. По формуле (3.23)

q₀ = = (1,262 – 1,308)/(—0,105) = 0,438.

Далее, пользуясь формулой (3.24), находим последовательные прибли­жения q_i(i = 1,2,...):

q₁ = q₀ – ²y₀ – ³y₀ = 0,438 –  0,422(0,422–1) –

–  0,438  (0,438 – 1)  (0,438 – 2) = 0,438 – 0,015 – 0,001 =0,422;

q₂ = q₀ – ²y₀ – ³y₀ = 0,438 –  0,422(0,422–1) –

–  0,422  (0,422 – 1)  (0,422 – 2) = 0,438 – 0,015 – 0,001 =0,422;

q = q₂ = 0,422 .

Теперь по формуле (3.24) получим

х = x₀ + qh = 283,15 +0,422  3  284,42 .

Следовательно,  = 1,262 мПа ∙ с при Т = 284,42 К.

В курсовой работе необходимо проанализировать результаты, полученные различными методами.