3.4.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

Получим формулу, которой удобно пользоваться для ин­терполирования (экстраполирования) функции у =f(х) в конце таблицы. Напишем искомый интерполяционный многочлен Р_п (х) в виде

Р_п(х)= a₀ + a₁ (x – x_n) + a₂ (x – x_n) (x – x_n–1) + a₃ (x – x_n) (x – x_n–1) (x – x_n–2) + …

+ an (x – xn) (x – xn–1) …(x – x1).

(3.18)

Коэффициенты a₀, a₁, … a_n определяем из того же условия (3.2): Р_n(x_i) = f(x_i) = y_i (i = 0, 1, 2, ..., п).

Положим в (3.18) x = x_n . Тогда a₀ = y_n .

Теперь пусть x = x_n–1 . Учитывая, что Р_n(x_n–1) = y_n-1 , a₀ = y_n , x_n–1 – x_n = –h , можем записать:

y _n–1 = y_n – a₁h.

Отсюда

a₁ = .

Далее, полагая в (3.18) х = x_n—2 и заменяя найденные коэффициенты a₀, а₁ их значениями, получим

a₂ = .

Продолжая аналогичные вычисления, получим выражения для остальных коэффициентов:

a₃ = ,… a_k = ,… a_n = .

После подстановки в (3.18) найденных значений коэффи­циентов формула примет вид

Р_п(х)= y_n + (x – x_n) + (x – x_n) (x – x_n–1) + (x – x_n) (x – x_n–1) (x – x_n–2) +

+…+ (x – xn) (x – xn–1) (x – xn–2)… (x – x1).

(3.19)

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Запишем ее в виде, более удобном для практического использования. Обозначив = q , получим:

= q + 1;

= q + 2; … = q + n – 1.

После подстановки этих значений в (3.19) формула приоб­ретает вид

Р_п(х) = y_n + qy_n–1 + ²y_n–2 + ³y_n-3 + …+

+…+ ny0 .

(3.20)

Пример 3.2. Вязкость воды  зависит от температуры Т следующим образом(табл.3.5):

Таблица 3.5

Зависимость вязкости воды  от температуры Т

Т, К	283,15	286,15	289,15	292,15	295,15
, мПа  с	1,308	1,203	1,111	1,030	0,958

Определить, какова вязкость воды при: а) T = 293,15 К; б) T = 285,15 К; в) T = 282,15 К.

Решение. Построим горизонтальную таблицу конечных раз­ностей (табл. 3.6), обозначив: Т = х,  = у.

Таблица 3.6.

Конечные разности

X	y	y	2y	3y
283,15	1,308	–0,105	0,013	–0,002
286,15	1,203	–0,092	0,011	–0,002
289,15	1,111	–0,081	0,009
292,15	1,030	–0,072
295,15	0,958

Как следует из таблицы, конечные разности третьего порядка постоян­ны, поэтому ограничимся ими и в формуле (3.21) положим п = 3.

а) Так как х = 293,15 ближе к концу таблицы, воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона (2.21), приняв x_n = 295,15; y_n = 0,958. Найдем h= 3,

q = = ;

Подставив из табл.3.6 в формулу (3.21) дважды подчеркнутые разности и значение q = – 2/3, получим

P₃(293,15) = 0,958 + = 1,005.

Следовательно, вязкость воды  при температуре T = 293,15 К равна 1,005 мПа • с;

б) поскольку х = 285,15 ближе к началу таблицы, воспользуемся первой формулой Ньютона (3.17), приняв x₀ = 283,15; у₀ = 1,308; h = 3. Найдем

q = = (285,15 – 283,15) / 3 = 2/3.

Подставив из табл.3.6 в формулу (3.18) подчеркнутые разности и значение q = 2/3 , получим

P₃(285,15) = 1,308 + 1,237.

Таким образом, вязкость воды  при температуре T = 283,15 К равна 1,237 мПа • с;

в) значение х = 282,15 находится за пределами табл.3.5, ближе к х₀ = 283,15. Поэтому будем использовать первую формулу Ньютона (3.18) для экстраполирования. В этом случае

q = = (282,15 – 283,15) / 3 = –1/3.

Подставив это значение q и подчеркнутые разности из табл. в формулу (4.13), получим

P₃(282,15)=

1,308+ (–0,002)=1,346.

Следовательно, вязкость воды  при температуре T = 282,15 К равна 1,346 мПа • с.