3.3. Метод Лагранжа

Пусть при Х = Х₀, Х₁, Х₂, ..., Х_n функция f(X) принимает соответственно значения Y₀, Y₁, Y₂, ...,Y_n. Многочлен степени не выше n, принимающий в узловых точках заданные значения, имеет вид:

Рn(X)=Y= .

(3.5)

Этот многочлен (3.5) называется интерполяционной формулой Лагранжа и обладает следующим свойствами:

1. При заданной совокупности узловых точек построение многочлена возможно только единственным образом;

2. Многочлен Лагранжа может быть построен при любом расположении узлов интерполяции (включая и неравномерное).

В развернутом виде форма Лагранжа имеет вид:

Р_n= +

+ +

+ … + +

+ … +

(3.6)

При n=1 формула Лагранжа приобретает вид:

Р(Х) =

(3.7)

и называется формулой линейной интерполяции.

При n=2 получим формулу квадратичной интерполяции

Р(Х)=

(3.8)

Пример 3.1: Объем 1 кг метана изменяется в зависимости от давления при Т=273 К следующим образом (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Экспериментальные данные

Р, МПа	0.096	0.075	0.036
V, м3	1.477	1.891	3.939

Определить объем 1 кг метана при давлении 0.083 МПа.

Р(0.083)=

+

Таким образом, объем 1 кг метана при Р=0.083 МПа равен 1.676 м³.

Для решения задач интерполяции с использованием формулы Лагранжа можно применять прикладную программу LAGRANG.EXE

Существует еще целый ряд методов интерполяции - метод конечных разностей, интерполяционные формулы Ньютона и др. Рассмотрим метод конечных разностей.

3.4. Интерполяционные формулы Ньютона

3.4.1. Понятие о конечных разностях различных порядков

Для таблицы функции Y = f(X) с постоянным шагом h (т.е. с равноотстоящими узлами интерполяции):

Xk = X0 + k.h, Yk = f(Xk) (k = 0, 1, 2, ... )

(3.9)

построение интерполяционного многочлена удобнее всего производить по формулам, использующим табличные разности функции.

Табличные (конечные) разности функции (разности первого порядка) определяются так:

Y = Yk+1 – Yk (k = 0, 1, 2, ... )

(3.10)

Разности второго порядка определяются как разности разностей первого порядка:

YYYYYY



Разности порядка n определяются:

mYk = n—1Yk +1 – n–1Yk

(3.12)

Разности различных порядков могут быть выражены не­посредственно через значения функции:

yi = yi+1 – yi; 2yi = yi+1 — yi = (yi+2 – yi+1) — (yi+1 – yi) = yi+2 – 2 yi+1 + yi ; 3yi = 2yi+1 — 2yi = (yi+3 – 2 yi+2 + yi+1) — (yi+2 – 2 yi+1 + yi) = yi+3 – 3 yi+2 + 3 yi+1 – yi .

(3.13)

Нетрудно доказать, что для любого m

	m yi = yi+m — m yi+m–1 + y i+m–2 — y i+m–3 + 	(3.14)
	+ (—1)m–1 m yi+1 + (—1)m yi .

Конечные разности различных порядков удобно распола­гать в форме таблиц: горизонтальной (табл.3.3) и диагональной (табл.3.4). Если данные расположены в таблицах через равные интервалы ΔY, то критерием выбора показателя степени n модели в виде полинома Y = b₀ + b₁*Х + b₂*Х² + ... + b_n*Xⁿ является постоянство значений n-ой последовательной разности Δ⁽ⁿ⁾Y_i табличных данных.

Таблица 3.3

Горизонтальная таблица разностей

X	Y	y	2y	3y
X0	y0	y0	2y0	3y0
X1	y1	y1	2y1
X2	y2	y2
X3	y3

Таблица 3.4

Диагональная таблица разностей

X	y	y	2y	3y
X0 X1 X2 X3	y0 y1 y2 y3	y0 y1 y2	2y0 2y1	3y0

В начале таблицы, где наращивание узлов интерполяции можно производить только вперед от начальной точки X₀, применяется первая интерполяционная формула Ньютона. В конце таблицы, где наращивание узлов интерполяции можно производить только назад от начальной точки X₀, применяется вторая интерполяционная формула Ньютона,.