4.3. Модель Вольтерра жертва-хижак
Ця модель відображає чисельності популяцій жертв (x) і хижаків (y), що взаємодіють один з одним по механізму вільних зіткнень. Це означає, що чисельність жертв пропорційна ймовірності зустрічі їх з хижаками, тобто пропорційна добутку xy. За таким же законом збільшується і чисельність хижаків в результаті їх зустрічей з жертвами. У рівняннях кінетики це відповідає бімолекулярній реакції (типу kxy). Крім того, відбувається процес природної смертності хижаків зі швидкістю, що пропорційна їх кількості, тобто по реакції першого порядку (-ky). Жертви розмножуються з швидкістю, також пропорційній їх чисельності в умовах, коли кількість їжі для них необмежена.
У цих спрощених припущеннях відповідні рівняння мають вигляд
, (13)
де g1, e1, g2, e2 – відповідні константи швидкостей або коефіцієнти пропорційності.
Історично система Вольтерра (19) була першою моделлю, де була якісно пояснена спостережувана в природі періодична зміна чисельності популяції видів, незалежна від зовнішніх дій. Проте ця модель дуже проста і не відображає взаємодії видів в природних умовах.
Для покращення моделі пропонується, наприклад, врахувати самообмеження в природних умовах зростання обох популяцій шляхом додавання в праві частини рівнянь членів другого порядку (-g3x2, -g4y2), що відображають ефект тісноти і конкуренції всередині популяції.
4.4. Статичні моделі серцево-судинної системи
Існує метод визначення робочого діаметра аорти при використанні математичної моделі, де в якості вхідних параметрів використовують значення ударного об’єму серця (УОС) і пульсового артеріального тиску (ПАТ):
. (14)
Ця модель працює у строгій відповідності з фундаментальними законами фізики, математики і медицини. Її точність залежить тільки від точності визначення ударного об’єму серця і пульсового артеріального тиску, вимірювання величини яких не потребує високої кваліфікації.
Практична частина
Завдання №1. Використовуючи модель росту популяції клітин з надлишком поживних речовин (рівняння 9), за даними таблиці 1 визначити число клітин через 10 год. від початку відліку часу.
Таблиця 1
№ |
Число клітин у початковий момент часу N0
|
Константа швидкості розмноження k1 , год-1 |
Константа швидкості загибелі k2 , год-1 |
Кількість клітин через 10 год N
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
500 800 200 300 200 1000 800 900 500 800 |
0,1 0,08 0,2 0,2 0,15 0,1 0,02 0,1 0,1 0,1 |
0,05 0,07 0,05 0,07 0,05 0,2 0,25 0,28 0,12 0,1 |
|
Завдання №2. Використовуючи модель росту популяції клітин з обмеженою кількістю поживних речовин (рівняння 11), за даними таблиці 2 визначити найменший час, протягом якого популяція клітин буде відрізнятися не більш, ніж на 5% від максимально досяжного рівня популяції.
Таблиця 2
№ |
Число клітин у початковий момент часу N0
|
Константа швидкості зміни k , год-1 |
Максимально досяжний рівень Nmax |
Час зміни t, год
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
1000 1300 1500 1100 100 5000 2500 2000 4000 5000 |
0,1 0,08 0,2 0,3 0,25 0,4 0,2 0,3 0,2 0,1 |
3000 5000 1700 4000 1000 3000 1000 200 1000 500 |
|
Завдання №3. Використовуючи модель відкритої системи (рівняння 12) та дані таблиці 3 визначити рівноважні концентрації речовин і та форму перехідних кривих.
Таблиця 3
№ |
A, мг/см3 |
B, мг/см3 |
kA , хв-1 |
kab , хв-1 |
kba , хв-1 |
kB , хв-1 |
a0, мг/см3 |
b0, мг/см3
|
a, мг/см3 |
b, мг/см3 |
Форма |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
1000 1300 2000 1100 5000 10000 25000 20000 40000 50000 |
0,1 0,08 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 |
0,03 0,07 0,05 0,07 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 |
0,5 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 |
0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 |
0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 |
|
|
|
|
|