Глава II геометрическая кристаллография

Рис. 6. Кристалл пириту со штри­ховкой на гранях

Рис.. 7. Кристаллы флюорита

Рис. 8. Кристалл кальцита

И форме ромбоэдра

_{< >}

Рис. 10.

Кристаллы шпата: крайний справа — двойник

В природных условиях кристаллы не всегда развива­ются в благоприятных условиях и имеют такие идеаль­ные формы, как показано на приводимых рисунках. Очень часто кристаллы имеют неполностью развившиеся формы, с недоразвитыми элементами ограничения (гра­нями, ребрами, углами). Нередко в кристаллах одного и того же минерала величина и форма гранен могут зна­чительно меняться (рис. 9—11). Часто в почвах и гор­ных породах встречаются не целые кристаллы, а лишь их обломки. Однако, как показали измерения, углы меж­ду соответствующими гранями (и ребрами) кристаллов различных форм одного и того же минерала всегда оста­ются постоянными. В этом заключается один из основных зако­нов кристаллографии— закон постоянства уг­лов.

Чем же объясняется такое постоянство уг­лов. Это явление свя­зано с тем, что все кри­сталлы одного и того же вещества имеют одинаковую структуру,

т. с. тождественны по своему внутреннему строению. За­кон справедлив для одинаковых физико-химических ус­ловий,, в которых находятся измеряемые кристаллы, т. с. при одинаковых температурах, давлении и др. Резкое изменение углов в кристаллах может наступать при по­лиморфном превращении вещества (см. гл. III).

Закон постоянства углов впервые упоминается рядом ученых: И. Кеплером, Э. Бартолином, X. Гюйгенсом, А. Левенгуком. Этот закон был выражен в общей форме в 1669 г. датским ученым II. Стенопом. В 1749 г. Ломоно­сов впервые связал закон постоянства углов с внутрен­ним строением селитры. И, наконец, в 1772 г. француз­ским минералогом Ромэ де Лилем этот закон был сфор­мулирован для всех кристаллов.

:>.\

На рис. 10 показаны два кристалла полевого шпата различной формы. Углы между соответствующими гра­нями а и 6 двух кристаллов равны между собой (они обозначены буквой греческого алфавита а). На рис. 11

Рис. 11. Три кристалла кварца с различным развитием со­ответствующих граней

угол между гранями т и г разных по внешней форме кристаллов кварца равен 38°13'. Из сказанного ясно, насколько велико значение измерения двугранных углов кристаллов для точной диагностики минерала.

Рис. 12. Измерение гранного угла Рис. 13. Принципиальная кристалла с помощью прикладно- схема отражательного го- го гониометра нномстра

Закон постоянства углов дал возможность точно оха­рактеризовать всякое вещество, встречающееся в виде кристаллов, отличать различные кристаллические веще­ства по углам многогранников, создать первую теорию строения кристаллического вещества.

Измерение гранных углов кристаллов. Гониометры

Для измерения двугранных углов кристаллов поль­зуются специальными приборами, называемыми гонио­метрами (греч. «гонос» — угол). Наиболее простым го­ниометром, употребляемым для приблизительных изме­рений, является так называемый прикладной гониометр, или гониометр Каранжо (рис. 12). Для более точных измерений используют отражательный гониометр (рис.

Рис. N. Теодолитный гониометр Е. С. Федорова

13). Измерение углов при помощи отражательного гонио­метра производится следующим образом: луч света, от­ражаясь от грани кристалла, улавливается глазом наблюдателя; поворачивая кристалл, фиксируют отраже­ние луча света от второй грани на шкале круга гонио­метра, отсчитывают угол между двумя отблесками, а следовательно, и между двумя гранями кристалла.

Измерение двугранного угла будет верным, если гра­ни кристалла, от которых происходит отражение луча света, параллельны оси вращения гониометра. Чтобы это условие всегда соблюдалось, измерение производят на двукружном или теодолитном гониометре, имеющем два круга вращения: кристалл может поворачиваться одно­временно вокруг двух осей — горизонтальной и верти­кальной.

Теодолитный гониометр изобретен и конце XIX и. рус­ским кристаллографом Федоровым и независимо от него немецким ученым В. Гольдшмидтом. Общин вид двукружного гониометра показан на рис. 14.

Кристаллохимический анализ Е. С. Федорова

морении

Метод гониометрического определения кристалличе­ского вещества и в известной степени его внутреннего строения по внешним формам кристаллов позволили Фе­дорову ввести в практику диагностики минералов кристаллохими ч е с к и й анализ.

соотношения его II I

Открытие закона по­стоянства углов позволи­ло измерением гранных углов кристаллов и срав­нением данных измерения с имеющимися табличны­ми величинами устанав­ливать принадлежность исследуемого кристалла к определенному веществу. Федоров провел большую работу по систематизации огромного литературного материала но измерению кри­сталлов. Использовав его, а также собственные измере­ния кристаллов. Федоров написал монографию «Царство кристаллов» (1920).

Ученики и последователи Федорова —советский кри­сталлограф А. К. Болдырев, английский ученый Т. Бар-кер (1881 — 1931) значительно упростили методы опреде­ления кристаллов. В настоящее .время кристаллохимиче­ский анализ сводится к измерению на гониометре необходимых углов и к определению вещества по спра­вочным таблицам .

При гониометрическом измерении кристаллов непо­средственному определению подлежит внутренний угол между гранями (рис. 15, А\>,). Однако в сводных табли­цах с измеренными углами различных веществ всегда приводится угол, составленный нормалями к соответст­вующим граням (рис. 15, ї(1). Поэтому после- измере­ния следует произвести несложные вычисления по фор­муле о=180°- |5 (а=аь как углы с взаимно перпенди­кулярными сторонами) и по справочнику определить название минерала.

Симметрия в кристаллах

О существовании симметрии в природе мы узнаем с раннего детства. Крылья бабочки и стрекозы, лепестки и листья различных цветов и растений, снежинки и пти­цы убеждают нас в том, что в природе существует сим­метрия.

Симметричными называются тела, состоящие из оди­наковых, симметричных частей, которые могут сов­мещаться. Так, если бабочка сложит крылья, они у нее полностью совместятся. Плоскость, которая разделит бабочку на две части, будет плоскостью симметрии. Если на место этой плоскости поставить зеркало, то в нем мы увидим симметричное отражение другого крыла бабочки. Так н плоскость симметрии обладает свойством зеркаль­ности — по обе стороны этой плоскости мы видим сим­метричные, зеркально-равные половинки тела.

В результате изучения кристаллических форм мине­ралов выяснено, что и в неживой природе, в мире кри­сталлов, существует симметрия. В отличие от симметрии в живой природе она называется кристаллической сим­метрией.

Кристаллической симметрией называется правильная повторяемость элементов ограничения (ребер, граней, углов) и других свойств кристаллов по определенным направлениям.

Наиболее отчетливо симметрия кристаллов обнару­живается в их геометрической форме. Закономерное пов­торение геометрических форм можно заметить, если: 1) рассечь кристалл плоскостью; 2) вращать сто вокруг определенной оси; 3) сопоставить расположение элемен­тов ограничения кристалла относительно точки, лежащей внутри его.

Плоскость симметрии. Рассечем кристалл каменной |Јоли иа две половины (рис. 16). Проведенная плоскость «разделила кристалл на симметричные части. Такая плос-' кость называется плоскостью симметрии.

Плоскостью симметрии кристаллического многогран­ника называется плоскость, по обе стороны которой рас­полагаю! ся одинаковые элементы ограничения и повто­ряются одинаковые свойства кристалла.

Рис. 16. Плоскость сим­метрии (Р) в кристалле каменной соли

І і _4/:.

Рис. 17. Плоскости симметрии в кубе

Плоскость симметрии обла­дает свойством зеркальности: каждая из частей кристалла, рассеченного плоскостью сим­метрии, совмещается с другой, т. е. является как бы ее зер­кальным изображением. В раз­личных кристаллах можно про­вести разное количество плос­костей симметрии. Например, в кубе имеется девять плоско­стей симметрии (рис. 17), в гексагональной или шестигран­ной призме — семь плоскостей симметрии — три плоскости пройдут через противополож­ные ребра (рис. 18, плоскости а), три плоскости через середины противоположных граней (параллельных про­дольной оси многогранника — на рис. 18, плоскости Ь) и одна плоскость - перпендикулярно ей (рис. 18, плос­кость Л).

Плоскость симметрии обозначается заглавной бук­вой латинского алфавита Р, а коэффициент, стоящий пе­ред ней, показывает количество плоскостей симметрии в многограннике. Таким образом, для куба можно записать 9Р, т. е. девять плоскостей симметрии, а для гексагональ­ной призмы — 7 Р.

Рис. 18. Плоскости симметрии в гексагональной призме (слева) и схема расположения осей симметрии (в плане, справа)

Ось симметрии. В кристаллических многогранниках можно найти оси, при .вращении вокруг которых кри­сталл будет совмещаться со споим первоначальным по­ложением при повороте на определенный угол. Такие оси называются осями симметрии.

Ось симметрии кристаллического многогранника -это линия, при вращении вокруг которой правильно пов­торяются одинаковые элементы ограничения и другие свойства кристалла.

Оси симметрии обозначаются заглавной латинской буквой /-. При вращении кристалла вокруг оси симмет­рии элементы ограничения и другие свойства кристалла будут повторяться определенное количество раз. Если при повороте кристалла па 360° многогранник совмеща­ется со своим исходным положением дважды, имеют де­ло с осью симметрии второго порядка, при четырех- и шестикратном совмещениях - соответственно с осями четвертого и шестого порядков. Оси симметрии обозна­чаются: Ј²— ось симметрии второго порядка; и— ось симметрии третьего порядка; /И — ось симметрии четвер­того порядка; I^й -ось симметрии шестого порядка.

Я7

:м.

Порядком оси симметрии называется количество сов­мещений кристалла с первоначальным положением при повороте на 360°.

Рис. 19. Оси симметрии в кубе

В связи с однородностью кристаллического строение и благодаря закономерностям в распределении части' внутри кристаллов, в кристаллографии доказываете . возможность существования только вышеперечисленных

Рис 20. Оси симметрии шестого и второго поряд­ков (L4iU) п плоскости симметрии (7Р) в гекса­гональной призме

осей симметрии. Ось симмет­рии первого порядка в расчет не принимается, так как она совпадает с любым направле­нием каждой фигуры. В крис­таллическом многограннике может быть несколько осей симметрии различных поряд­ков. Коэффициент, стоящий пе­ред символом оси симметрии, показывает количество осей симметрии того нлп иного по­рядка. Так, и кубе три оси сим­метрии четвертого порядка 3// (через середины противополож­ных граней); четыре оси треть­его порядка —4Ь³ (проводятся через противоположные верши­ны трехгранных углов) и шесть осей второго порядка б/-² (че­рез середины противополож­ных ребер) (рис. 19).

В гексагональной призме можно провести одну ось шес­того порядка и б осей второго ' порядка (рис. 18 и 20). 28

В кристаллах наряду с обычными осями симметрии, охарактеризованными ранее, выделяют так называемые инверсионные оси.

Инверсионной осью кристалла называется линия, при вращении вокруг которой на некоторый определенный угол и последующим отражением в центральной точке многогранника (как в центре симметрии) совмещаются одинаковые элементы ограничения .

Инверсионная ось обозначается символом Z.,-. На мо­делях кристаллов, где обычно приходится определять инверсионные оси, центр симметрии отсутствует. Дока­зана возможность существования инверсионных осей следующих порядков: первого Lt_t, второго Lt_t, третьего Li , четвертого 1.^, шестою L,_e . Практически приходит­ся иметь дело лишь с инверсионными осями четвертого и шестого порядков (рис. 21).

Иногда инверсионные оси обозначаются цифрой, сто­ящей справа внизу от символа осн. Так, инверсионная ось второго порядка обозначается символом Li, третье­го — L₃, четвертого L,„ шестого L_e.

Инверсионная ось представляет собой как бы сово­купность простой оси симметрии и центра инверсии (сим­метрии). На приводимой схеме (рис. 21) показаны две инверсионные осп Li _ь и Lj₄. Разберем оба случая нахож­дения данных осей в моделях. В трпгональной призме (рис. 21,/) прямая LL — ось третьего порядка /А В то же время она одновременно является инверсионной ОСЬЮ шестого порядка. Так, при повороте на 60° вокруг оси любых частей многогранника и последующего отражения их в центральной точке фигура совмещается сама с со­бой. Иными словами, поворот ребра АВ этой призмы па 60" вокруг LL приводит его в положение А\В\, отраже­ние ребра A\Bi через центр совмещает его с DF.

В тетрагональном тетраэдре (рис. 21,//) все грани состоят из четырех совершенно одинаковых равнобедрен­ных треугольников. Ось LL—ось второго порядка /А При повороте вокруг нее па 180° многогранник сопме-

Т

Рис. 21. Инверсионные оси шесто­го (/) п четвертого (//) порядков

іцается с первоначальным положением, а грань ABC переходит на место ABD. В то же время ось I.² является и инверсионной осью четвертого порядка. Бели повер­нуть грань ABC на 90° вокруг оси LL, то она займет по­ложение A\B\d. При отражении ЛібіСі в центральной точке фигуры грань совместится с положением BCD (точка Л| совпадает с С, В_х — с D и С, — с В). Проделав такую же операцию со всеми частями тетраэдра, заме­тим, что он совмещается сам с собой. При повороте тет­раэдра на 360^е' полу­чим четыре таких сов­мещения. Сл едова тел ь-но, LL — инверсионная ось четвертою порядка Li,.

Центр симметрии.

В кристаллических многогранниках, кроме плоскостей и осей сим­метрии, может быть также и центр симмет­рии (инверсии).

Центром симметрии (инверсии) кристалли­ческого многогранника называется точка, ле­жащая внутри кристал­ла, в диаметрально противоположных направлениях пт которой располагаются одинаковые элементы ограниче­ния и другие свойства многогранника.

Центр симметрии обозначается буквой С латинского алфавита. При наличии центра симметрии в кристалле каждой грани отвечает другая грань, рапная и парал­лельная (обратно параллельная) первой. В кристаллах не может быть более одного центра симметрии. В кри­сталлах любая линия, проходящая через центр симмет­рии, делится пополам.

Центр симметрии легко найти в кубе, октаэдре, їв гек­сагональной призме, так как он находится в этих много­гранниках в точке пересечения осей и плоскостей симмет­рии.

Разобранные элементы, встречаемые в кристалличе­ских многогранниках,— плоскости, оси, центр симмет­рии — называются элементами симметрии.

Виды симметрии

В кристаллах элементы симметрии находятся во вза­имосвязи. Благодаря зависимости одних элементов сим­метрии от других, взаимные сочетания нх весьма ограни­чены. Установлено, что возможны только 32 комбинации различных группировок, или 32 кристаллографических класса, пли вида симметрии (табл. 1). Данные 32 вида симметрии сначала были выведены чисто теоретически в 1831 i. II. Гессслем, а затем независимо от него рус­ским акад. Л. В. Гадолииым в 1867 г. Позднее этот вы­вод был подтвержден и на кристаллах.

В каждый вид симметрии объединяются кристаллы на основании совокупности элементов симметрии или на­личия какого-либо одного определенного элемента и от­сутствия других элементов симметрии.

Иными словами, вид симметрии кристалла — это пол­ная совокупность его элементов симметрии.

Виды симметрии, в которых имеются только главные оси, названы примитивными. Если в видах симметрии присутствует и центр симметрии, они называются цент­ральными. При наличии плоскости говорят о планальном виде симметрии (грсч. «планум» — плоскость), если име­ются только оси — аксиальный вид симметрии (греч. «аксон» ось). Максимальное количество возможных осей и плоскостей дает наименование планиксиального вида симметрии. В случае присутствия инверсионных осей го­ворят об инверсионно-примитивном или инверсионно-пла-нальном видах симметрии.

При определении кристаллов или нх моделей следует иметь в виду, что найденная комбинация элементов сим­метрии должна непременно соответствовать определен­ному виду симметрии из приводимых 32 классов (табл. 1).

Сингонии

Кристаллографические классы, или виды симметрии, объединяются в более крупные группировки, называемые системами или сингониями. Таких сингонии семь:

1. кубическая — высшая категория

2. гексагональная Ў

3. тетрагональная средняя категория

4. тригональная ;

5. ромбическая I

6. моноклинная ; низшая категория.

7. триклинная '

В каждую сингонию входят кристаллы, у которых от­мечается одинаковое расположение кристаллографиче­ских осей и одинаковые элементы симметрии. Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими одинаковыми элементами симметрии и имеющих одинаковое расположение кристаллографиче­ских осей.

Охарактеризуем каждую сингонию.

Высшая категория. Кубическая сингония. В этой син­гонии кристаллизуются наиболее симметричные кристал­лы. В кубической сингонии присутствует более одной осп симметрии выше второго порядка, т. е. Ь,³ или I⁴. Кри­сталлы кубической сингонии обязательно должны иметь четыре оси третьего порядка (4Ј³) и, кроме того, либо три взаимно перпендикулярные оси четвертого порядка (3/.*), либо три оси второго порядка (З/.²). Максималь­ное количество элементов симметрии в кубической син­гонии может быть выражено формулой ЗШЈ³6/.²9РС.

Кристаллы кубической сингонии встречаются в виде куба, октаэдра, тетраэдра, ромбододекаэдра, пентагон-додекаэдра и др. (рис. 22). В кубической сингонии кри­сталлизуются следующие минералы: каменная соль (га-лит), пирит, галенит, флюорит и др.

Сингонии средней категории. Эта группа объединяет кристаллы, обладающие только одной осью симметрии порядка выше второго. К средней категории относятся гексагональная, тетрагональная и тригопальная синго­нии.

Гексагональная сингония характеризуется наличием одной оси симметрии шестого порядка (/-⁶). Максималь­ное количество элементов симметрии может быть следу­ющим: 1*^в6Ь²7РС. Кристаллы гексагональной сингонии образуют призмы, пирамиды, днпирамнды и др. (рис. 23). В гексагональной сингонии кристаллизуются апатит, нефелин, берилл и другие минералы.

33

Тетрагональная сингония имеет одну ось четвертого порядка (/.⁴). Максимальная симметрия для этой синго­нии характеризуется формулой /,⁴41²5РС. Формы кри­сталлов данной сингонии - тетрагональные призмы, пи­рамиды, дипирамиды и их комбинации (рис. 24). К тет-

3146

Рис. 22. Кристаллы кубической сннгоннн:

Рис. 24. Кристаллы тетрагональной сиигонии:

рагоналыюй сннгоннн относятся касситерит (оловянный камень), халькопирит (медный колчедан), циркон и дру­гие минералы.

/ — куб (пирит, торианит. галенит, флюорит, перовскит); 2 —кубо-октаэдр (галенит); 3 — октаэдр (.золото, хромит, пикотит. магне­тит, Шпинель); -4— ромбододекаэдр (колото, гранат, магнетит), 5 — тетрагон-триоктаэдр (гранат); 6 —комбинации двух тетраэдров (сфалерит);-7 —пентагон-додекаэдр (пирит, гранат); ■« —гекса-эдр (алмаз); 9 — двойни к прорастания куба (пирит, торианит, флюорит)

/ — тетрагональная пирамида (анатаз, циркон, ксенотим); 2— анатаз; 3 ■■■ комбинация тетрагональной призмы с пирамидой (циркон, брукнт); 4 — комбинация пирамиды и двух призм (ксе­нотим, рутил, циркон); .5 — комбинация двух призм с пирамидой (везувиан, циркон): 6 — комбинация двух тетрагональных призм и пирамиды с пинакондом (везувиан); 7 — комбинация двух призм с двумя дипирамидамн (касситерит); в—даолинк касситерита; V, 10 — пульфнит; // — шеелит

Рис. 23. Кристаллы гексагональной сиигонии:

/ — гексагональная дипнрамида (киари. корунд); 2 —комбинация призмы и диинрамнды (кварц); 3 — гексагональная призма (берилл, апатит); /—ком­бинации призмы с днпирамидой и пинакондом (апатит)

Тригональная сингония характеризуется одной осью третьего порядка (/-³). Наибольшее количество элемен­тов симметрии выражается формулой /-³3/.²ЗРС. Формы кристаллов — призмы, пирамиды, дипирамиды, их ком­бинации и др. (рис. 25). В данной сингоиии кристаллизу­ются кварц, кальцит, гематит, корунд и др.

Сингонии низшей категории. Кристаллы, в которых совсем отсутствуют оси симметрии высшего наименова­ния и могут присутствовать только оси второго порядка (Ј²), относятся к сингониям низшей категории. К ним относятся ромбическая, моноклинная и триклинная син­гонии.

Ромбическая сингония имеет несколько осей второго порядка (Ь²) или несколько плоскостей симметрии (Р). Характерные формы — ромбический тетраэдр, ромбиче­ская призма, ромбическая пирамида и ромбическая ди-пирамида (рис. 26). Максимальная формула 3/_,²ЗРС. В ромбической сингонии кристаллизуются барит, топаз, марказит, антимонит и др.

/71

м

\у

73*

10 "

Рис. 27. Кристаллы моноклинной сингонии:

/ — комбинация трех пинакоидов; 2, 4 •— кристаллы пироксена; ,7—комбинация призм и пннаконда (гипс, амфибол); 5. 6 — сфен; 7,8 — монацит; 5 — вольфрамит; 10, И — эпилог

Моноклинная сингония. Кристаллы моноклинной сингонии характеризуются наличием одной оси второго порядка (Т..²) или одной плоскостью симметрии (Р), либо максимально: Ь²РС. Формы кристаллов — ромби­ческая призма и сочетание простых форм: пинакоидов и моноэдров (рис. 27) *. Характерные минералы моноклин­ной сингонии: ортоклаз, слюды, гипс, роговая обманка, ипроксепы и другие минералы.

Триклинная сингония. К триклинной сингонии отно­сятся наиболее несимметричные кристаллы.

Определение простых форм и их характеристика приводится этой же главе, с. 38.

Тексогоналышя Тригональная Тетрагональная

Вышин сингонии (Вот одной, оси высшего ниименоВания)

Рис. 28. Кристаллы триклииной ' 2

сингонии:

/ — аксинит; 2 —кианит

Низшие сингонии (ни одной оси Высшего наименования)

ї²

Ромбическая Моноклинная Триклинная

Рис. 29. Определение сингонии кристаллов

совсем элементов симметрии или имеющие лишь центр симметрии (С). Характерные формы кристаллов — ком­бинации пииакоидов и моноэдров (рис. 28). В триклИн­ной сингонии кристаллизуются плагиоклазы, дистен, медный купорос и другие минералы.

Для определения сингонии неизвестного минерала по совокупности найденных элементов симметрии пользу­ются табл. 2. Иллюстрация определения сингонии кри­сталлов по минимуму элементов симметрии приводится на рис. 29.

Простые формы и комбинации простых форм. Открытые и закрытые формы

Природные многогранники — кристаллы - могут об­разовывать либо простые формы, либо их комбинации. Простой формой называется совокупность тождествен­ных граней, связанных элементами симметрии. Грани такой простой формы должны быть одинаковыми по своим физическим и химическим свойствам, а в идеаль­но развитых многогранниках — и по своим очертаниям и величине. Примерами простых форм могут служить куб, тетраэдр, октаэдр, ромбоэдр н т. д. Если кристалл образован несколькими видами граней, это комбинация нескольких простых форм. Комбинацией называется со­четание двух или нескольких простых форм, объединен­ных элементами симметрии. Насчитывается 47 простых форм известных в природе кристаллов (рис. 30).

Следует иметь в виду, что для кристаллов каждой сингонии характерны свои определенные простые формы.

Для кубической сингонии характерны только такие простые формы: куб, тетраэдр, октаэдр, тригон-трите-траэдр, тетрагон-тритстраэдр, пентагоп-тритетраэдр, ромбододекаэдр, Пентагон-додекаэдр, тетрагсксаэдр, гексатетраэдр, дидодекаэдр, тетрагон-трноктаэдр, три-гон-триоктаэдр, пентагон-триоктаэдр и гексоктаэдр (рис. 30). Перечисленные 15 простых форм не могут встречаться ни в одной из сингонии средней или низшей категорий.

В средней категории встречается 25 простых форм, присутствие которых новозможно ни в высшей, пи в низ­шей категориях. Это различные пирамиды, дииирамиды,* призмы (рис. 30, 2—7, 9—14, 16—21); кроме того, здесь присутствуют три трапецоэдра: тригональный, тетраго-

Это главнейшие термины, используемые в кристалло­графии.

Сростки и двойники

Одиночные кристаллы в природе наблюдаются редко. Обычно они встречаются в виде сростков, которые могут состоять из двух, трех и большего числа кристаллов. Наиболее часто встречается срастание кристаллов в пи-

Рис. 32. Двойники прорастания ставролита

де друз и щеток (см. рис. 5, 46). В таких группах крис­таллы располагаются па общем основании и срастаются в случайных положениях в зависимости от условий об­разования.

Помимо случайных срастаний наблюдаются и законо­мерные сростки. Закономерные сростки двух или не­скольких кристаллов называют параллельными срост­ками (кварц, берилл), если соответствующие грани у всех сросшихся кристаллов параллельны друг другу (рис. 31).

В том случае когда одни из сросшихся кристаллов является зеркальным отображением другого или может быть получен из другого кристалла путем попорота на

равносторонние, а в отличие от ромбического тетраэдра и сечении он дает квадрат. Скаленоэдры получаются при удвоении граней тетраэдра и ромбоэдра.

В низшей категории присутствуют свои особые прос­тые формы, невозможные в кубической еппгопии: мопо-эдр, пинакоид, диэдр, ромбическая пирамида, ромбиче­ская призма, ромбический тетраэдр, ромбическая днни-рамида. Их всего 7 (рис. 30, /, 8, 15. 22, 31, 32, 34). Следует отметить, что моноэдр и ннпакопд могут встре­чаться в кристаллах средней категории. Ромбическая призма может присутствовать как в ромбической, так и в моноклинной сингониях.

Тригональная и гексагональная призмы и некоторые другие простые формы (например, тригональная и гек­сагональная пирамиды и др.) могут встречаться как сре­ди тригональных, так и среди гексагональных кристал­лов.

Простые формы образуют великое множество комби­наций. Этим и объясняется то разнообразие геометриче­ских форм, которое присуще природным многогранникам.

В кристаллографии и отличие от геометрии имеют дело не только с закрытыми, но и с открытыми формами. Пели простая форма со всех сторон замыкает простран­ство, она называется закрытой. Например, куб, октаэдр, тетраэдр являются закрытыми простыми формами. Од­нако среди простых форм имеются н такие, которые не­полностью замыкают пространство. Например, призмы, пирамиды. Такие формы называются открытыми.

Открытые формы могут существовать в кристалле только в сочетании с другими простыми формами, обра­зуя комбинации простых форм. Так, например, кристалл в форме тригональной пирамиды (см. рис. 30) представ­ляет сочетание двух простых форм — пирамиды и еди­ничной грани — мопоэдра, а кристалл в форме тригональ­ной призмы слагают грани призмы и пинакопда (двух параллельных и равных граней).

Кристаллографическая номенклатура

В кристаллографической номенклатуре приняты кристаллографические термины, в основу которых поло­жены греческие корпи:

Аксон — ось Пимакос—• таблица, доска

Гскса - шести, шестью Планум — плоскость

42

180" вокруг некоторой оси, именуемой двойниковой осью, такой сросток называется двойником (см. рис. 4). Двой­ники бывают двух видов: двойники срастания (см. рис. 4 — гипс) и двойники прорастания (см. рис. 22— пирит, торианит, флюорит, рис. 32 — ставролит). При определении симметрии двойниковых сростков следует иметь в виду, что симметрия у двойников будет отли­чаться от симметрии отдельных кристаллов, гак как при срастании появляются новые элементы симметрии.

Среди сростков кристаллов нередко наблюдаются также тройники, четверники и т. д., называемые но чис­лу сросшихся кристаллов. Наличие сростков характерно для ряда минералов, поэтому сростки нередко являются хорошим диагностическим признаком минералов. При­мерами могут служить двойники гипса (см. рис. 4), име­ющие форму ласточкина хвоста, крестообразные двой­ники ставролита (от греч. «ставрос» — крест) (рис. 32. двойники флюорита, алмаза и др.).

Стереографические проекции кристаллов

В кристаллографии для пространственного изобра­жения изучаемых кристаллов, их элементов симметрии и элементов ограничения используются различные про­екции. Наиболее часто применяются стереографическая (от греч. «стерсос» — пространственный, объемный) II гномостереографическая (от греч. «гномон» — перпенди­куляр) проекции.

Для построения проекции кристалла последний поме­щается в центр шаровой сферической поверхности. Гра­ни и ребра кристалла продолжаются до пересечения с шаровой поверхностью и изображаются так: грани — в виде дуг, ребра —в виде точек. Такая проекция получи­ла название стереографической. Для более наглядного изображения кристаллов используют гномостереографи-ческую проекцию. В данном случае проектируется не грань, а перпендикуляр к ней, проекции ребер замени ются нормальными к ним плоскостями. При гномостерсо-графическом проектировании грани дают на сфере точ­ки, а ребра—дуги.

Рассмотрим принципы построения стереографической проекции и простейшие случаи стереографического про­ектирования кристаллов.

44

Рис. 33. Схема построения стереографических проек­ций направлении и плос­кости

Возьмем шаровую поверхность произвольного диа­метра с центром О (рис. 33). Точка О —это центр про­екций, а шаровая поверхность—шар проекций. Прове­дем через центр проекций плоскость Q, называемую плоскостью проекций. При пересечении сферической по­верхности получается круг проекций. Он соответствует экватору шара и является большим кругом (в отличие от малых кругов, получающихся при пересечении шара плоскостями, не проходящими через его центр). Плос­кость проекций раздели­ла шар на северное и юж­ное полушария, или на верхнюю и нижнюю полу­сферы. Вертикальный ди­аметр NS называется осью проекций. Точка N— северный полюс, точка S — южный полюс. Одну из этих точек, обычно юж­ный полюс, выбирают за точку зрения.

Для изображения сте­реографической проекции направления или плоско­сти необходимо перенес­ти их параллельно самим себе до прохождения их

через центр проекций (точка О). Например, направление ОА дает при пересечении его со сферой точку й\. Соеди­нив проекцию направления АО на сферической поверхно­сти, т. с. ai с точкой зрения 5 лучом зрения Sa_lt получаем на горизонтальном диаметре точку а, являющуюся сте­реографической проекцией направления ОА на плоско­сти. Если какое-либо направление пересекает нижнюю (южную) полусферу, за точку зрения принимают север­ный полюс. Итак, проекции направлений изображаются точками.

Плоскость Р при пересечении шаровой поверхности дает дугу ВСК, являющуюся дугой большого круга. Сое­диним все точки дуги лучами зрения с южным полюсом. Получаем из множества лучей проектирующий конус, который при пересечении с плоскостью проекций даст Дугу КМВ. Эта дуга, опирающаяся па концы диаметра, есть стереографическая проекция плоскости Р. Имеется

45

теорема, согласно которой стереографическая проекция круга представлена также крутом. Таким образом, сте­реографические проекции плоскостей изображаются кру­говыми дугами.

Рассмотрим теперь, как проектируются кристаллы методом стереографических проекций. Возьмем какой-либо кристаллический многогранник и совместим центр его, например центр тяжести, с точкой О, являющейся центром проекций. Произвольным радиусом опишем во­круг данного центра сферическую поверхность — шар тальную плоскость. Такие проекции называются гномо-стереографическими (грсч. «гномон» — перпендикуляр). Из построения, приводимого на рис. 34, /, видно, что гномостереографические проекции граней изображаются в виде точек. Эти точки располагаются внутри круга проекций, если нормали к граням пересекают верхнюю полусферу (грани А, в и С). Пели пересечение шара происходит в нижней полусфере (например, нормаль к грани Е дает точку <?,), то проекция точки на горизон-

Рис. 34. Гвоностерсографйчсские проекции граней Л. В, С. Е (/) и изображение этих проекций на плоскости (} (II, вид сверху)

_О

А

_С

Рис. 35. Условные обозначения элементов симметрии на стереографической проекции:

/—ось симметрии второго порядка; 2 —ось симметрии третьего порядка: 3 — ось симметрии четвертого порядка: 4 — ось симметрии шестого порядка; 5 — инверсионная ось четвертого порядка; 6 — инверсионная ось шестого порядка; 7 — плоскость симметрии; 8 — центр симметрии

проекций (рис. 34). Рассечем шар проекций горизонталь­ной плоскостью проекций С?, проходящей через точку О. Спроектируем грани кристалла сначала па шаровую поверхность, а затем на плоскость проекций. Для этого из центра проекций О на грани кристалла опустим пер­пендикуляры и продолжим их до пересечения с шаровой поверхностью. На рис. 34 для иллюстрации построения взять! четыре грани: А, В, С и Е. Па сферической поверх­ности мы получим четыре точки: для грани А—а\, для грани В—Ьи для грани С—С\ и для грани Е—е\. Далее перенесем все найденные точки на горизонтальную плоскость проекций. Принимаем южный полюс шара 5 за точку зрения и соединяем се лучами зрения со всеми четырьмя точками, расположенными на сфере. Получа­ются новые четыре точки, лежащие на плоскости С?,— а, Ь, с и <?2- Эти точки — стереографические проекции нор­малей соответствующих граней кристалла на горизон­тальную плоскость располагается за кругом проекций. Чтобы избежать этого неудобства, за точку зрения в данном случае принимают северный полюс N. Тогда проекция и для грани Е оказывается внутри круга про­екций (рис. 34, точка е). Для отличия проекций граней, нормали к которым пересекают верхнюю полусферу, от нормалей к граням, пересекающих нижнюю полусферу принято: первые обозначать на плоскости кружочками, вторые —крестиками (рис. 34, //).

Таким образом, при проектировании горизонтальных граней их проекции попадают в центр круга проекций (грань А, рис. 34). проекции вертикальных граней изо­бражаются на большом круге проекций (грань С, рис. 34), наклонные грани проектируются внутри круга проекций (грани В и Л, рис. 34).

Следует иметь в виду, что чем круче наклон грани к оси проекций, тем ближе се проекция к кругу, чем поло-

•п.

47

же — тем ближе се проекция к центру проекций О.

При построении стереографической проекции кри­сталла для его более полного отображения практикует­ся нанесение на проекцию элементов симметрии данного кристалла. Условились элементы симметрии изображать следующими значками (рис. 35). Характер обозначений понятен из приводимою рисунка. Пояснение следует дать

Рис. 36. Стереографические проекции элементов симметрии и гра­ней кристаллов:

а —куб; б— тетрагональная дипирамида

к изображению плоскости симметрии на проекции. Как видно на рис. 35, плоскость симметрии изображается двумя параллельными линиями. В том случае если плос­кости симметрии перпендикулярны к плоскости чертежа, они рисуются двумя параллельными прямыми, проходя­щими через центр проекции. Если плоскости наклонны или горизонтальны, они изображаются двумя параллель­ными дугами (рис. 36).

Поскольку на проекции будут изображены как грани, так и элементы симметрии кристалла, а точки проекций могут совпасть, не следует значки элементов симметрии рисовать мелкими или затушевывать их середину. На­пример, проекции верхней и нижней граней куба, изо­бражаемые соответственно кружочком и крестиком, сов­падают с осью симметрии четвертого порядка, изобра­жаемой квадратиком. На проекции это изобразится квадратиком с нарисованными внутри него кружочком и крестиком (рис. 36, а). Проекции боковых граней так-

48

же совпадают с осями четвертого порядка и изобража­ются кружочками, расположенными внутри квадратиков (рис. 36, а).

При проектировании элементов симметрии кристал­лов следует иметь в виду, что вертикальные и наклон­ные оси изображаются одним значком, горизонталь­ные— двумя значками, симметрично расположенными на противоположных сторонах диаметра. Так, на рис. 36, а одна ось четвертого порядка, расположенная вертикально к плоскости чертежа, показана одним квад­ратиком (в центре), то же можно сказать и об оси чет­вертого порядка на рис. 36, б; четыре оси третьего по­рядка па левом рисунке расположены наклонно, следо­вательно, они изображены четырьмя треугольниками. На рис. 36, б 4 осп второго порядка расположены гори­зонтально, поэтому каждая ось обозначена двумя эллипсами.

При составлении стереографической проекции кри­сталла важно правильно расположить ею внутри сферы. Об этом подробно будет сказано в конце данной главы. Здесь кратко скажем о наиболее удобном расположении кристаллов различных сингоний внутри шара при состав­лении стереографических проекций.

Кристаллы кубической сингоний располагают так, чтобы перпендикулярно плоскости чертежа находилась одна из осей четвертого порядка, при отсутствии тако­вых (например, в 28 виде симметрии кристаллов, см. табл. 1) такое же положение должна занять ось второго порядка.

При проектировании кристаллов средней категории перпендикулярно плоскости чертежа устанавливается ось шестого порядка (гексагональная сингопия), ось четвертого порядка (тетрагональная сингопия) или ось третьего порядка (тригональная сингопия).

В кристаллах ромбической сингоний ось второго по­рядка также располагается перпендикулярно плоскости чертежа, в моноклинной сингоний — ось второю поряд­ка устанавливается параллельно плоскости чертежа, а плоскость симметрии — перпендикулярно к ней. В триклинпой сингонии, где нет осей и плоскостей симметрии, установка кристалла более пли менее произвольна. Ре­комендуется для удобства проектирования возможно большее количество граней кристалла устанавливать вертикально.

Решение кристаллографических задач с помощью сетки Г. В. Вульфа

Методы построения простейших стереографических проекций кристаллов не претендуют на высокую точ­ность, а преследуют цель наглядного условного отобра­жения элементов симметрии и граней кристаллов.

В ряде случаев для изображения кристаллов и реше­ния кристаллографических задач требуются более точные

построения. Для этих целей используются специальные стереографические сетки.

Рассмотрим устройство стереографической сетки и познакомимся с методикой решения задач с помощью одной из таких сеток, назы­ваемой сеткой Г. В. Вульфа. Мри гониометрическом из­мерении кристалла получа­ют для каждой грани две сферические координаты: Рис. 37. Измерение сфериче- ф —долготу и р —полярное схих координат точки в|: расстояние, дающие точное

Долгота может иметь значение от 0 до 360°, полярное расстояние — от 0 до 180°.

Представление о точном расположении точек можно дать, используя метод, аналогичный применяемому в географии н астрономии. Там, как нам известно, поло­жение любой точки определяется на глобусе и фиксиру­ется двумя координатами —долготой и широтой. Поверх­ность глобуса покрыта сетью линий -параллелей и ме­ридианов, которые позволяют находить положение точки.

Таким же способом в кристаллографии определяются координаты точек. На поверхность шара наносится сеть вспомогательных параллелей и меридианов. Исполь­зуя градусную сетку, получают две координаты точки, нанесенной на сфере. Одна из координат, обозначаемая греческой буквой ф, отвечает географической долготе, отсчитываемой от выбранного нулевого меридиана. Ины­ми словами, долготу определяет угол между плоскостью пулевого меридиана н плоскостью меридиана, проходя­щего через заданную точку (рис. 37). Вторая координа­та в кристаллографии называется полярным расстоя­нием (р) и в отличие от географической широты отечн-тывается от полюса (рис

37). Полярное расстояние измеряется углом между полюсом шара и данной точкой,

Рис. 38. Стереографическая сетка Г. В. Вульфа

т. е. р является относительно географической шпроты дополнительным углом до 90°.

При гониометрическом измерении кристалла долгота отсчитывастся по вертикальному кругу гониометра, по­лярное расстояние — но горизонтальному лимбу.

Наиболее широкое применение в кристаллографии получила стереографическая сетка Г. В. Вульфа. Сетка

Г. В. Вульфа представляет собой проекцию дуг меридиа­нов и параллелей на плоскость меридиана. Точка зрения помещается на экваторе и на сетке совмещается с цент­ром проекций. Стереографическая сетка имеет диаметр 20 см и цену деления 2°. Каждый десятый градус для удобства отсчета выделяется жирной линией (рис. 38).

Для решения кристаллографических задач с помо­щью сетки Г. В. Вульфа используют лист кальки, соот­ветствующий формату сетки. Лист кальки накладывают на сетку Вульфа и в центре ее наносят точку и четыре

	0°р	\о°<р

Рис. 39. Лист кальки, под­готовленный к работе с сет­кой Вульфа:

стрелкой показано направление отсчета долготы; через кальку проснечиваюг круг проекции и диаметры" сетки

черточки в виде креста. Черточки не доходят до точ­ки и не пересекаются. Чер­точки проводят по горизон­тальному и вертикальному диаметрам сетки и при на­чале работы с сеткой совме­щают их с диаметрами, а точку — с центром проек­ций. С правой стороны каль­ки за концом горизонталь­ного диаметра сетки прово­дят на кальке черточку за кругом проекций (рис. 39). Данная черточка будет в дальнейшем соответствовать нулевому значению долготы и даст начало отсчету се в направлении по часовой стрелке по кругу в интервале от 0 до 360°. Центральная точка кальки соответствует 0°р. Полярное расстояние отсчитывастся от этой точки по любому концу диаметра в направлении большого круга проекций, где р=90°, и обратно в направлении централь­ной точки, если полярное расстояние более 90° (до 180°). Таким образом, любая точка, расположенная на боль­шом круге проекций, будет иметь р = 90°. Если точка расположена в центре кальки, то полярное расстояние может быть равно пулю или 180^э.

Следует иметь в виду, что при решении задач все построения производятся только на кальке. Перед нача­лом работы на кальке наносят вышеуказанные обозна­чения, а также отмечают 0°р вблизи центра и 0°ф рядом с пулевой риской.

Приведем примеры решения некоторых кристаллогра­фических задач с помощью сетки Вульфа .

Задача 1. Построить стереографическую проекцию направления, заданного координатами <(; и р.

Дано некоторое направление .4 со сферическими координатами: ф= 165° и (>08".

Требуется найти стереографическую проекцию этого на­правлении. Задача решается следующим образом:

1. Рис. 40. Построение стереогра­фической проекции направле­ния А с координатами: <р 165°, р=68°

1. Накладывают кальку на сетку Вульфа, совмещают центр кальки с центром сетки, а пулевую риску (0° ср) — с правым концом горизонтального диаметра сет­ки Вульфа.

1. От нулевой риски отсчи­тывают но часовой стрелке но кругу проекций 165° н отмеча­ют вспомогательной черточкой-риской (рис. -10).

2. Вращением кальки сов­мещают найденную риску с концом ближайшего диаметра сетки (центр кальки придержи­вают остро заточенным каран­дашом в совмещенном положе­нии с центром сетки).

3. По данному диаметру от центра сетки в сторону вспо­могательной черточки отсчиты­вают полирное расстояние — 68" и отмечают найденную точ­ку кружочком.

4. Возвращают кальку в исходное положение и обозна­чают кружочек буквой а. Пай-денная точка является стереографической проекцией направления Л.

Такое построение используют при нанесении стереографической проекции нормали к грани, или, как говорят, гномостереографиче-ской проекции грани. Аналогичный метод применяется при построе­нии ребра или оси симметрии кристалла. В случае если полярное расстояние какого-либо направления больше 90", стереографическая проекция будет расположена в нижней полусфере. Отсчет полярного расстояния, как отмечалось, будет производиться от центра проек­ций в направлении круга и обратно от круга к центру. Такая про­екция обозначается крестиком (рис. 40, точка Ь с координатами: ф=205°, р-124').

Задача 2 (обратная). Определить сферические координаты на­правлении, заданного стереографической проекцией.

Решение: 1. Вращением кальки совмещают заданную точку (стереографическую проекцию направлении) с ближайшим диамет­ром сетки. От центра сетки по данному диаметру отсчитывают в на­правлении точки сферическую координату р. Вспомогательнойчерточкой на круге проекций отмечают в данном положении конец диаметра, на котором лежит определяемая точка._ 2. Возорашают кальку в исходное положение и по кругу проек­ции от нулевой риски до вспомогательной черточки отсчитывают долготу ф. Таким образом, для точки с определены сферические координаты: q>=309°, р=55* (рис. 40). Задача 3. Провеет дугу большого круга через заданные сте­реографические проекции двух направлений.

Допустим, что требуется про­вести дугу большою круга через стереографические проекции о и с направлений А (105°, 68") и С (309^е, 55").

Решение: 1. Вращением кальки совмещают обе точки а и с с одним на вспомогательных ме­ридианов сетки.

2. Простым карандашом обво­дят меридиональную дугу, соеди­няющую точки а и с, и возвраща­ют кальку в исходное положение (рис. 41).'

В том случае если точки будут Рис. 41. К решению задач располагаться на разных иолусфе- 3, 4, 5, 6, 7 pax (например, а н Ь па рис. 40),

вращением кальки приводят их на симметрично расположенные по отношению к центру сетки меридио­нальные дуги н обводят их простым карандашом: через точку а — сплошной линией, через точку 0 - пунктирной.

Найденная дуга большого круга может изображать гномостерео-графическую проекцию ребра, лежащего на пересечении двух гра­ней (в этом случае заданные точки являются гномостереографнче-скими проекциями этих гранен), или стереографическую проекцию грани, если точки — стереографические проекции ребер, лежащих в плоскости данной грани.

Задача 4. Измерить угол между двумя направлениями, заданны­ми их стереографическими проекциями (например, угол между на­правлениями /1 и С, см. рис. 41).

Решение: I. Вращением кальки совмещают точки о II с с од­ной из меридиональных дуг сетки Вульфа (задача 3).

2. По данной дуге отсчитывают количество градусов, заключен­ных между точками а и с. Получают /10=113".

Измеренный угол может быть углом между нормалями к гра­ням, сели точки а и с представляют собой их гномостерсографиче-ские проекции или углом между ребрами, если данные точки — стереографические проекции ребер.

Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (полюсом дуги является точка, равно­отстоящая от всех точек дуги на 90°).

Предположим, что требуется найти полюс дуги ас. Решение: 1. Вращением кальки совмещают данную дугу с меридиональной дугой сетки Вульфа.

2. Отсчитывают от точки пересечения данной дуги с горизон­тальным диаметром в направлении к центру сетки 90° по диаметру и отмечают найденную точку кружочком.

3. Возвращают кальку в исходное положение п надписывают точку значком Р,,,-.Для найденного полюса можно найти сферические координаты: ф = 62°, р=61° (см. задачу 2). Данный полюс может представлять собой стереографическую проекцию ребра кристалла, если дуга является гномостереографической проекцией этого ребра. Полюс может быть гномостереографической проекцией грани, если данная дута — стереографическая проекция этой грани.

Аналогичным способом находится полюс дуги ей. Сто координа­ты: ф= 194°, р=59°.

Задача 6. (обратная). По заданному полюсу найти дугу боль­шого круга, отвечающую его экватору.

Решение: I. Вращением кальки приводят полюс на горизон­тальный диаметр сетки.

2. От точки в направлении центра сетки отсчитывают 90° и об­водят карандашом соответствующую меридиональную дугу. Послед­няя будет искомым экватором для заданного по.чюса.

Найденная экваториальная дуга может соответствовать стерео­графической проекции грани в том случае, если полюс является гномостереографической проекцией ее. Дуга может соответствовать гномостереографической проекции ребра, если полюс является его стереографической проекцией.

Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов.

Допустим, что требуется определить угол между дугами ас и ас1 (см. рис. 41).

Решение: I. Вращением кальки совмещают точку пересечения дуг а (вершину определяемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.

2. Принимают данную вершину за полюс II проводят соответст­вующую ему экваториальную дугу (см. задачу 6).

3. Измеряют отрезок дуги между точками пересечения данной дуги с заданными дугами. Измеренная величина дуги состапнт вели­чину искомого угла.

Измеренный угол при вершине а равен 65°, при вершине с - -75", при вершине й— 116*.

Измеренные углы представляют собой углы между соответствую­щими гранями при условии, что заданные дуги больших кругов — стереографические проекции этих граней.

Кристаллографические символы. Закон рациональных отношений

Многообразие внешнего облика кристаллов, встреча­ющихся в природе, обусловлено различными сочетания­ми, или комбинациями, простых форм. Определив эле­менты симметрии кристалла, количество простых форм и вид симметрии кристалла, не всегда получают одно­значное представление о кристалле. Одни класс симмет­рии может включать в себя несколько различных по внешнему виду кристаллов. Например, кристаллы квар­ца могут встречаться в виде гексагональной дшшрамиды

или комбинации гексагональной дииирамиды с гексаго­нальной призмой (см. рис. 23, / и 2). Разные но внешне­му виду, оба кристалла имеют одинаковую формулу симметрии: Ь⁶<51²7РС. То же можно сказать о кристал­лах циркона (см. рис. 24, /, 3, 4, 5). Все четыре формы относятся к одному и тому же виду симметрии тетраго­нальной сингонии: ЈЧ/.²5РС, а кристаллы под номерами 4 и 5 даже состоят из одних и тех же простых форм — двух тетрагональных призм и тетрагональной дииира­миды.

Таким образом, определение вида симметрии или да­же наличие стереографической проекции кристалла не всегда дает нам однозначное представление о внешнем облике кристалла.

Для более точной характеристики кристалла опреде­ляют взаимное расположение его граней в пространстве по отношению к определенным координатным осям и некоторой исходной грани. Для определения грани при­меняются так называемые кристаллографические сим­волы. Понятие о кристаллографических символах выте­кает из второго закона кристаллографии, открытого в 1784 г. французским исследователем Р. Ж. Гаюи. Этот закон называется законом рациональных отношений или законом параметров, именуемым также законом целых чисел.

Закон рациональных отношений гласит: положение всякой грани может быть определено тремя целыми числами, если за оси координат выбраны направления трех ребер кристалла и за единицы измерения взяты отрезки, отсекаемые на этих осях одной из граней кри­сталла.

Нередко дастся и другая формулировка данного за­кона— «двойные отношения параметров (отрезков), от­секаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пе­ресекающихся его ребрах, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел» .

Возьмем три непараллельных ребра кристалла, пере­секающихся в точке О, и обозначим их ОХ. ОУ. 01. Вы­бранные три ребра примем за координатные оси (рис. 42). Покажем три грани кристалла, пересекающие координатные оси: к\Ш\П\, к₂т-₂п_?, и к$т_лП2. Отрезки, от­секаемые этими гранями на осях, называются парамет­рамй граней. Например, для грани 1г\ГП\П\ параметрами являются Ок\, О/П] и Оп\. Примем параметры этой гра­ни за единицы измерения по соответствующим осям (Ок\— по оси X, Ош\—по оси У, Оп\ —по оси 2). В этом случае параметры остальных граней кристалла бу­дут рациональными числами.

Рпс. 42. Схема коорди­натных осей, пересекае­мых гранями кристалла

Выбранная грань называется единичной гранью, а ее параметры — осевыми единицами. Эти осевые единицы взяты за единицы измерения — единичные отрезки.

Следует иметь в виду, что эти параметры могут быть не равны друг другу (например, на рис. 42 у грани к\Ш_хп_х пара­метры Ок\-фОш\ФОп\). По­ложение данной грани обозна­

обозна­чается символом (111). Сим­вол обозначает, что грань отсекает по каждой оси по од­ной осевой единице.

В кристаллографии приня­то так располагать кристалло­графические оси: X — на се­бя — положительное значение, от себя - отрицательное; У— вправо — положительное зна­чение, налево - - отрицательное, 1 — вверх — положитель­ное значение, вниз — отрицательное. Осевые единицы обозначают: по X — а, по У - - Ь, но 1 — с.

Выбор единичной грани задаст масштаб по каждой оси. В нашем случае при выбранной единичной грани к\Ш\П\ ее параметрами будут а, Ь, с. Положение грани кчШчПг определится параметрами 2а, 2Ь, Зс, для грани кзт₃П2 — За, 36, 2с.

Чтобы представить положение каждой грани в про­странстве, следует знать (помимо направления осей), как параметры, задающие масштабы по разным осям, относятся друг к другу.

В общей форме отношение параметров любой грани можно выразить как ра:цЬ:тс, где р, а и /- — целые числа.

Для каждого определяемого кристалла необходимо выбрать направление кристаллографических осей и од-

(Название простоя формы	См		л	Количество граней
Гексаэдр (куб)	(1	0	0!	ft
Октаэдр	|1	1	}	8
Тетраэдр	Ў1	1	II	4 12
Ром бододекаэлр	И	1	2!
Пентагон-додекаэдр	1*	k		12
Тетрагексаэдр	{А	к	?,1	24
Гсксоктаэдр	(Л	1:	1)	48

T а б л и ц а 3 Символы простых форм кубической синюнни

ну из наклонных к ним граней в качестве единичной грани. Эту операцию называют установкой кристалла. Иногда при установке кристалла некоторые грани ока­зываются параллельными одной или двум координатным осям. В этом случае их параметры по данным осям бу­дут равны бесконечности (ос).

Разобранный способ обозначения граней при помощи параметров предложен немецким ученым X. Вейссом (1818). В 1839 г. английским ученым У. Миллером была рекомендована более удобная система обозначений. Вместо величин р, q и /- он предложил брать обратные

величины — — —• Отношение этих правильных Р Ч г

дробей можно выразить и целыми числами — : —: —=

_ Р Я г

эти три числа принято называть индексами грани и обозначать буквами латинского алфавита Ii, Ii, I. Заключенные в круглые скобки индексы составляют символ грани (hkl).

В большинстве случаен индексы граней представлены числами меньше 10. Индексы в круглых скобках не раз­деляются знаками препинания. Исключение делается, когда один из индексов равен пли больше 10. При этом индексы отделяются точками, например (10-3-2). Над индексами ставят знак (—) минус в том случае, если грань отсекает соответствующий отрезок по отрицатель­ному направлению оси. Принято следующее расположе­ние индексов: по осп X — h, но оси Y—k, по оси Z —/. В таком порядке индексы и пишутся в круглых скобках для обозначения символа грани.

Как перейти от параметров к индексам? Для единич­ной грани f<im_ln_l (см. рис. 42) индексы Л, k, I равны еди­нице, так как величины р, q, г равны единице (каждая).

Следовательно, отношения —, — — также сосгав-

Р ч г

ляют единицу. Таким образом, символ грани 1:_хт\П\ бу­дет (111). Для грани k₂tn₂n₃ (см. рис. 42) параметры

составляют 2, 2 и 3. Индексы грани к,т_гп,~ : —: — =

^{1 г 1 8} 2 2 3 = 3:3:2. Отсюда символ этой грани (3 3 2). Грань

кз/п₃Пй имеет индексы—:—:—=2:2:3 и символ ее

Л 3 2

(2 2 3). 58

Если грань параллельна какой-либо кристаллогра­фической осп, то индекс ее по этой оси будет равен ну­лю, так как — = 0. Если в кристалле у грани два ин­ое

дскса равны нулю, то третий всегда равен единице. На­пример, грань параллельна осям X и У, а по оси 7. отсекает две осевые единицы. Следовательно, парамет­ры грани со : со : 2, а индексы— : —: -—=0:0:2. Сокра-

^г ОО ОО Л

тнв на общий множитель (на 2), получим отношение ин­дексов 0:0: 1. Символ грани будет (00 I).

-X

(0W)

+х

	+	L
		то
	,	V
{BIO} А.

-/

Рис. 43. Куб с указанием коор­динатных осей и символоп граней:

пунктиром показаны СИМВОЛЫ не­видимых граней

Для примера обозначений граней кристалла приве­дем куб с указанием символов всех его граней (рис. 43). При описании кристаллов и определении символов получают для каждой простой формы или ком­бинации простых форм совокупность символов многих граней. Например, для куба символы всех его шести граней: _(1 0 0), (0 1 0), (0 0 1)_, (10 0). (0 1 0) и (0 0 1). Приня­то для обозначения каж­дой простой формы брать символ одной из се гра­ней, для которой харак­терно наибольшее коли­чество положительных

Сингонии	Осевые е.иницы	Оссяыо углы
Кубическая Гексагональная Тригональная Тетрагональная Ромбическая Моноклинная Триклипная	а—Ь = с а = 6 Фс а = Ьфс а — Ь ф с афЬф с афЬ Ф с афЬфс.	а — 8 i= у — 90° а = й = 90°v = 120° а = 3 = 90°у = 120° а = ? = у = 90е а = 5 = у --. 90° а ф 3 Ф у ф 90°

Таблица 4

Консгангы кристаллической решетки

индексов. Такие символы, условно относящиеся К той или иной простой форме, принято заключать в фигурные скобки. В нашем случае для куба, являющегося простой формой, вместо приведенных выше шести символов упо­требляют лишь один символ {100}.

В табл. 3 приведены символы наиболее распростра­ненных простых форм кубической сингопии.

Установка кристаллов. Константы кристаллической решетки

Рис. 44. Осспыс углы

Для построения наглядных стереографических проек­ций н определения символов граней кристаллов разных енпгоний применяют установки кристаллов. Под уста­новкой кристаллов понимают выбор определенных на­правлений за координатные оси и одной из наклонных к ним гра­чей кристалла за единичную. Обычно координатные оси прово­дятся параллельно ребрам и час­то по осям симметрии кристалла и называются кристаллографиче­скими осями.

При установке кристаллов и выборе координатных осей сле­дует иметь в виду, что углы между кристаллографическими

осями могут отличаться от 90° в

зависимости от принадлежности кристалла к той или иной сингопии. Принято осевые углы обозначать буквами греческого алфавита: а (угол между осями У я г), р (угол между осями X и 2) и у (угол между осями X и У) (рис. 44). Отношение осевых единиц а: Ь : с и осевые углы а, р и у называются кон­стантами данной кристаллической решетки. В табл. 4 приводятся константы кристаллической решетки для каждой сингонии.

- К наиболее простой относится установка кристаллов высшей категории — кубической сингонии (см. рис. 43). Здесь кристаллографические оси устанавливаются вдоль осей симметрии четвертого порядка пли, в случае их от­сутствия, по осям второго порядка. Все три кристалло­графические оси будут взаимно перпендикулярны, т. е. и=р=у=90°. За единичную грань принимают грань те­траэдра или октаэдра, символ которых будет (1 1 I). Осе­вые отрезки, отсекаемые на кристаллографических осях, равны между собой: а=Ь = с. Ось Z располагается вер­тикально, оси X и Z — горизонтально. Причем положи­тельное значение оси X направляется на наблюдателя, положительное значение У — слева направо.

В триклинной сингонии кристаллографические оси проводятся параллельно трем произвольно выбранным ребрам, не лежащим в одной плоскости (рис. 45,/). За единичную грань берут любую грань, пересекающую ко­ординатные оси. У нас получается косоугольная система координат, где аф$фуф90°, ^а осевые единицы: аф ФЬФс.

В моноклинной сингонии ось У проводится параллель­но оси второго порядка, а при ее отсутствии — перпенди­кулярно к плоскости симметрии. Ось У, проводится вер­тикально и перпендикулярно к оси У. Ось X проводится перпендикулярно к оси У, положительный конец осп X направлен на наблюдателя и наклонен вниз (рис. 45,2). Здесь мы имеем: _a=Y=90°, Я=7^=90°, афЬФс За единич­ную грань принимают любую грань, пересекающую все три кристаллографические осн.

В ромбической сингонии кристаллографические оси проводятся через три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка. При наличии одной осп сим­метрии второго порядка через нес проводят ось Z. Две другие оси в этом случае проводятся перпендикулярно к плоскости симметрии. За единичную грань принимают любую грань, пересекающую псе три кристаллографиче­ские оси. При установке кристалла ось X направляют на наблюдателя, ось У — слева направо (рис. 45,3). Для

ромбических кристаллов ц=р=у=90°, следовательно, ато прямоугольная система координат, афЬфс —вес отрезки, отсекаемые на осях, разные.

В тетрагональной сингонии ось I проходит вдоль оси четвертого порядка, X а У взаимно перпендикулярны

« 6

Рис. 45. Установка кристаллов различных сшігоішіі:

/ — триклинної!; 1 — моноклинной: 3 — ромбической; 4 — тетрагональной- I — гексагональной; 6 — іршональпоЯ (показано сечение тригональний призмы)

друг другу и оси 1 и располагаются вдоль осей второго порядка (рис. 45,4). Если осей второго порядка нет, то оси X и У проводятся перпендикулярно к вертикальным плоскостям симметрии или параллельно ребрам кристал­ла. Следует иметь п виду, что в тетрагональной сингонии при наличии 4-х осей второго порядка выбор положения осей X и У не однозначен, так как их можно провести че­рез любую пару осей, проходящих через середины про­тивоположных ребер или через середины противополож­ных граней тетрагональной призмы. В тетрагональной сингонии п=^р=у=90°, а^Ьфс. Единичная грань от­секает равные отрезки на горизонтальных осях и пересе­кает вертикальную ось.

В гексагональной и Тригонйльной сингоннях применя­ют систему координат с четырьмя кристаллографически­ми осями. Помимо осей X, ), Z используется дополни­тельная ось U. Она проводится в одной плоскости с осями X и У под углом 120^а к ним (рис. 45, 5, 6). Ось Z уста­навливают соответственно вдоль оси шестою или третье­го порядков. Остальные осп проводятся вдоль осей вто­рого порядка, если их нет —перпендикулярно к плос­костям симметрии ИЛИ параллельно трем ребрам кристалла, расположенным под углом 60° друг к другу и перпендикулярным к оси Z. Единичная грань отсекает на двух горизонтальных осях равные отрезки и пересе­кает ось Z. Следует отмстить, что единичная грань либо параллельна одной горизонтальной оси, либо отсекает на ней отрезок вдвое меньший, чем на двух других го­ризонтальных осях. Для гексагональной и тригональной сингонии: a=Я = 90³, у=120°, а=Ъфс.

Для кристаллов тригональной сингонии возможна и другая установка, когда за координатные оси выбирают три ребра ромбоэдра или пирамиды. В этом случае а= = Я = _Y=90°, а=Ь = с.

Символы граней в гексагональной и тригональной сиигониях будут состоять из четырех индексов. Индекс по оси X (первой кристаллографической оси) обознача­ется Ii, по У (второй кристаллографической оси) —к, по U (третьей кристаллографической оси)-—», по Z (чет­вертой кристаллографической оси)—/. Таким образом, символ грани данных сингонии в общей форме выразится (hkli). Следует отметить, что индекс ( может быть вы­числен по формуле i = —(Л+А)> т. е. равен сумме ин­дексов по первым двум осям с обратным знаком.