Лабораторна робота № 10

«Q-параметризація. Проектування стабілізуючих регуляторів»

Мета роботи: вивчення сучасного підходу до проектування стабілізуючих регуляторів на підставі Q-параметризації і отримання практичних навичок проектування регуляторів.

1. Теоретичні відомості

Нехай розглядається замкнена система керування (рис. 1).

Рисунок 1 – Структурна схема системи з регулятором К і об’єктом G

Передавальною функцією від збурення до вихідної змінної системи є . Отже . Взаємний зв’язок між функцією чутливості і регулятором є досить складним. Але якщо впровадити параметр , то залежність чутливості від стане лінійною. Дійсно, , і . Тепер обираючи відповідну при заданої передавальної функції об’єкту керування можна забезпечити потрібні властивості функції чутливості.

На підставі рівнянь і отримаємо, що . У цьому випадку система (рис. 1) може бути представленою так, як наведено на рис. 2.

Рисунок 2 – Розгорнута структурна схема системи з регулятором К і об’єктом G

Передавальна функція буде стійкою, як це можна встановити на підставі рівняння , тоді і лише тоді, коли як так і є стійкими. Отже, звідси слідкує і протилежне: якщо є стійкою, то Q-параметризація описує множину усіх регуляторів , які стабілізують .

Кожну дробово-раціональну передавальну функцію можна представити двома стійкими обмеженими передавальними функціями. Таки передавальні функції нехай належать множині Р.

Наприклад, передавальну функцію нестійкого об’єкту G(s) = (s-2)/(s-1) можна представити як відношення двох передавальних функцій N(s) = (s-2)/(s+1) і M(s) = (s-1)/(s+1), причому обидві належать до множини Р. Якщо для регулятора обрати таке саме представлення, тобто K(s) =X(s)/Y(s), , то для функції чутливості буде справедливим вираз

.

Представляється розумним так конструювати і , що для кожної частоти ω. В такому випадку у всіх передавальних функціях знаменник виявляється стійким. Функція чутливості виявляється простою ( ) і завжди стійкою в силу того, що і належать до множини Р. Отже, якщо вдається сконструювати до двох звісних функцій і дві функції і із множини Р таким чином, що буде виконуватися умова , то одразу виходе регулятор , якій стабілізує будь-яку .

Функції і є взаємно простими, якщо існують дві функції і такі, що . Із цього слідкує, що і також взаємно прости, вони не мають однакових нулів .

Розрахунок і по алгоритму Евкліда:

1. У передавальної функції зробити підстановку s = (1-λ)/λ і прийняти чисельник отриманої дробово-раціональної функції як поліном n(λ), а знаменник - m(λ).

2. Провести ділення поліному n(λ) на поліном m(λ): n=mq₁+r_1.

3. Провести ділення m(λ) на r₁: m=r₁q₂+r₂.

4. Провести ділення r₁ на r₂ : r₁=r₂q₃+r₃, r₂=r₃q₄+r₄ і так і далі, поки не залишиться r_k = const ≠ 0.

5. Зворотним ходом визначають, що r_k=(....)n+(....)m або 1=1/r_k(....)n+1/r_k(....)m.

6. Отримують x(λ)=1/r_k(....); y(λ)=1/r_k(....).

7. В вирази для x(λ) і y(λ) роблять підстановку λ =1/(s+1).

8. Результат – поліноми N(s), M(s), X(s), Y(s) і регулятор K(s) =X(s)/Y(s).

У більш загальному випадку для нестійких об’єктів керування регулятор K(s) розраховують за формулою . Після отримання поліномів N(s), M(s), X(s), Y(s) у п.8 алгоритму Евкліда визначають необхідні передавальні функції замкненої системи, куди Q(s) входить як параметр. Q(s) обирають такою, щоби забезпечити потрібну якість системи керування (Q(s) = 0 є тривіальним рішенням). Після обрання Q(s) визначають передавальну функцію стабілізуючого регулятору K(s).