1.6 Моделювання систем керування з використанням Simulink

Рекомендується виконувати дослідження систем регулювання використовуючи можливості пакета Simulink. Реалізувати П, ПІ або ПІД регулятор можна самостійно на функціональних елементах, що надаються Simulink або використовувати багатофункціональний блок «PID-контролер» (PID controller) – універсальний блок, вихідний сигнал якого задається виразом:

. (11)

Зв'язок параметрів, що входять до (11), з представленням ПІД закону виразом (1), наступний:

, и .

Рекомендується самостійно ознайомитись з функціональними можливостями блоку PID-контролер.

2. Завдання

Згідно таблиці варіантів необхідно:

1) провести настройку параметрів безперервних П, ПІ, ПІД регуляторів за табл. 1 та провести моделювання з використанням блоку «PID-контролер»;

2) провести перехід від безперервних (1) до цифрових законів керування (4) з періодом Т (обґрунтувати та обрати величину Т самостійно) використовуючи структурну схему приведену на рис. 2, формульні залежності (5), а так само блок «PID-контролер» та провести моделювання;

3) проаналізувати отримані результати для безперервних та цифрових регуляторів;

4) оцінити вплив періоду дискретності, величини транспортної затримки на якість перехідних процесів в цифровій системі;

5) провести синтез системи регулювання з ПІ (ПІД) регулятором, предікатором Сміту (див. рис. 4) та провести моделювання;

6) проаналізувати отримані результати та оцінити ступінь впливу затримки та параметричної невизначеності математичної моделі об'єкта керування на якість перехідних процесів;

7) зробити висновки за результатами дослідження.

Таблиця 2 – Таблиця варіантів

№ варіанту	Передатна функція об’єкту
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

3. Зміст звіту

У звіти представити:

1. Варіант завдання.

2. Стислі теоретичні відомості.

3. Лістинг програми моделювання, розрахунки та перехідні процеси.

4. Структурні схеми замкнутої системи в Simulink та графіки перехідних процесів.

5. Аналіз отриманих результатів.

6. Висновки по роботі.

Лабораторна робота №9 «Дослідження робастної стійкості системи керування»

Мета роботи: вивчити і отримати практичні навички використання методів забезпечення робастної стійкості системи керування об’єктами, передавальна функція яких містить адитивну або мультиплікативну невизначеність.

1. Теоретичні відомості

Кожний об’єкт керування як елемент множини об’єктів зі зверху обмеженою похибкою в адитивної формі може бути формально представлений наступною структурною схемою (рис.1)

Рисунок 1 – Номінальний об’єкт з адитивною похибкою

Структурну та параметричну невизначеності (похибки) у математичному опису об’єкту керування можна представити також як мультиплікативні, якщо похибки інтерпретувати як відносні до номінальної моделі.

, .

Структурна схема об’єктів з мультиплікативною невизначеністю показана на рис.2.

Рисунок 2 – Об’єкти керування з мультиплікативною похибкою

Примітка: Адитивна та мультиплікативна невизначеності моделі об’єкту керування не можуть використовуватись для представлення множини об’єктів, у яких внаслідок зміни параметрів або внаслідок структурної невизначеності з’являються додаткові полюси праворуч від комплексної осі, тобто об’єктів, у яких кількість «правих» полюсів може змінюватись.

Розглянемо одновимірну систему автоматичного керування (рис.3,4) з номінальною моделлю об’єкту керування , яка визначена з адитивною похибкою Δ_a(jω).

Р исунок 3 – Узагальнена структурна схема системи керування

Рисунок 4 – Представлення класичного контуру керування (структура а ) узагальненою структурою (структура б)

Нехай вхідними сигналами будуть сигнали w_∆ і w, а вихідними - z_∆ і z, тобто систему з параметричною або структурною невизначеністю можна представити як двомірну і визначити передавальні функції , , , .

. (1)

З урахуванням позначень на рис. 3, 4 легко отримати відповідні передавальні функції, а саме:

, , (2)

, (3)

З іншого боку на підставі матричного рівняння (1) можна записати наступні співвідношення, враховуючи те, що :

(4)

Розв’язком рівнянь (4) відносно і є співвідношення (5):

. (5)

На підставі рівняння (5) можна зробити важливі висновки стосовно стійкості системи автоматичного керування об’єктом, модель якого визначена з параметричними або структурними похибками.

Висновок 1. Класичні методи проектування регуляторів базуються на моделях об’єктів керування, які «точно» віддзеркалюють властивості об’єктів, тобто параметрична або структурна похибки є відсутніми ( ). У такому випадку рівняння (5) встановлює залежність виходу системи від входу, яка дорівнює передавальної функції замкненої системи. Характеристичним рівнянням є , що відповідає стійкої системі внаслідок розумного обрання регулятору .

Висновок 2. При наявності адитивної похибки ( ) стійкість системи визначається складовою , якої відповідає додатковий контур з позитивним зворотним зв’язком.

Характеристичне рівняння для оцінки стійкості має вигляд

. (6)

Передавальну функцію можна представити у вигляді добутку передавальної функції регулятора і чутливості номінальної системи , тобто . У частотної області характеристичне рівняння (6) для забезпечення стійкості системи перетворюється у вираз

для . (7)

Враховуючи те, що абсолютна величина є обмеженою зверху, тобто , можна сформулювати критерій стійкості системи автоматичного керування з об’єктом, модель якого має адитивну, обмежену зверху параметричну або структурну похибку: система є стійкою, якщо

, (8)

або

. (9)

Останній вираз за визначенням відповідає - нормі : , тому критерієм стійкості є також

. (10)

Рисунок 5 – Система з мультиплікативною невизначеністю моделі об’єкту

Систему керування з мультиплікативною невизначеністю (рис. 4) можна представити як систему з двома входами і двома виходами, які зв’язані один з одним також рівнянням (1), у якому

, , (11)

, . (12)

Подальший аналіз проводиться у припущенні, що номінальний контур керування ( ) і усі є стійкими, а для є частотно-залежна верхня границя .

Залежність виходу системи від задавального діяння описується як і у випадку адитивної похибки наступним рівнянням:

. (13)

Із рівняння (13) при стійких передавальних функціях виходить, що стійкість системи визначається додатковим контуром з позитивним зворотним зв’язком, характеристичне рівняння якого має вигляд .

З урахуванням значення отримаємо ; з характеристичне рівняння приймає вигляд . На підставі критерію Найквіста може бути встановлено, що необхідною і достатньою умовою стійкості системи є

або , , (14)

Враховуючи те, що мультиплікативна невизначеність моделі об’єкту є обмеженою зверху, а саме , критерієм стійкості системи керування є:

. (15)

Консервативніше

або . (16)