Лабораторна робота №7 «Синтез модальних регуляторів для багатовимірних цифрових систем і дослідження їх динамічних властивостей»

Мета роботи: набути навичок та оволодіти методикою синтезу модального регулятора для багатовимірних об’єктів керування та дослідити динамічні властивості цифрових систем з синтезованими регуляторами.

1. Теоретичні відомості

Розглянуті методики синтезу модального регулятора використовуються для одновимірних систем SISO (single-input-single-output), в більшості випадків реальні об'єкти та системи є багатовимірними MIMO (multiple-input-multiple-output). Для таких систем не існує явних розрахункових формул синтезу закону зворотного зв'язку. Відомі методи та алгоритми синтезу багатовимірних модальних регуляторів: Уїлкінсона, Нордстрема-Норландера, Каутського - Нікольса - ван Дурена та ін.

1.1 Синтез модального регулятора на основі метода Уїлкінсона

Нехай задані рівняння стану та виходу дискретної системи

(1)

і кратність однакових коренів бажаного характеристичного полінома

не перевершує кількості входів r.

Для знаходження матриці регулятора K, задамося бажаною моделлю дискретної динамічної системи

(2)

де – вектор стану бажаної системи, такої розмірності, яка співпадає з розмірністю вектору стану ;

– матриця, що визначає бажані полюси замкнутої системи;

– вектор виходу бажаної системи, розмірність якого дорівнює розмірності вектору керування ;

– матриця виходу еталонної моделі.

Матриці обираємо так, щоб виконувалась умова повної спостережності. Матриця визначає бажані полюси замкнутої системи. Матриця регулятора K повинна забезпечити співпадіння власних чисел матриці з власними числами матриці , що визначає бажані динамічні властивості замкненої системи. Для знаходження матриці K, необхідно вирішити алгебраїчне рівняння Сильвестра матричного виду

, (3)

де Х – алгебраїчне рішення рівняння Сильвестра.

У пакеті Control system toolbox існує функція X=lyap(A,B,C) призначена для вирішення рівнянь Ляпунова та Сільвествра виду АХ+ХВ+С=0. Для рішення рівняння (3) необхідно задати X=lyap(-Ф,Ф_б, Н*С_б).

Обчислення матриці лінійних стаціонарних зворотних зв'язків регулятора здійснюється за формулою

. (4)

Розглянемо формування еталонної моделі по заданим показникам якості для багатовимірних систем. З метою простоти викладу зупинимося на випадку, коли початковий об'єкт має лише два входи, тобто матриця керованого переходу має наступний вигляд

,

де – матриці стовпці, розмірності ( ), що характеризують входи по першому та другому керуючому впливу.

Якщо пара повністю досяжна (керована) та індекси керованості по кожному з входів

, , (5)

при чому .

Індекс керованості показує, яку кількість змінних стану можна змінити керуванням по даному входу. Якщо сума індексів керованості дорівнює порядку об'єкта керування, то кожен з входів змінює різні змінні стану та завдання модального керування має єдине рішення. Якщо сума індексів керованості більше порядку об'єкта, то є змінних, на які може впливати кожен з входів, і завдання модального керування може бути вирішено різними способами.

Припустимо, що виконується перша умова ( ), тоді матриці еталонної моделі можна задати у вигляді

та . (6)

де та – квадратні матриці розмірності , ;

та – матриці розмірності , .

Матриці , можуть бути задані по бажаним полюсам дискретної системи μ₁, μ₂, ..., μ_v1 (₁, ₂, ..., _v2) в діагональному вигляді або в будь-якій канонічній формі на підставі коефіцієнтів характеристичного рівняння

, (7)

, , (8)

, (9)

, . (10)

Якщо , тоді матриці бажаної динаміки можливо задати у вигляді:

, . (11)

Вибір матриць , обмежується виконанням умови повної спостережності пар ( , ), ( , ) або ( , ).

Підсумовуючи вище викладене, алгоритм обчислення матриці модального регулятора має наступний вигляд:

1. Складається матриця досяжності за формулою

.

Після складання матриці досяжності необхідно обчислити ранг цієї матриці, тобто перевірити виконання умови досяжності.

2. Розраховуються індекси керованості по кожному входу (5), та визначаються розмірність матриць ( , ), ( , ) або ( , ).

3. Формування матриць динаміки еталонної моделі ( , ) здійснюється на основі бажаних полюсів або коефіцієнтів характеристичного полінома (7), (9). На підставі отриманих ₁, ₂,…, _n складається матриця (6), (8), (10), (11).

4. Знаходиться рішення рівняння Сільвестру (3).

4. Розраховується матриця модального регулятору (4).

5. Проводиться перевірка правильності обчислення матриці модального регулятору.