1.2. Векторы

1.2.1. Основные понятия

При изучении комплексных чисел мы уже ввели понятие векторного объекта на комплексной плоскости с числовыми компонентами. Теперь расширим это понятие до векторного объекта в n-мерном пространстве, понимая под ним последовательность из n чисел (в общем случае комплексных), которые будем называть составляющими вектора.

Совокупность всех таких векторов образует n-мерное векторное пространство Rⁿ.

Два вектора будем считать равными тогда и только тогда, когда все их компоненты равны.

Умножение вектора на число определим как операцию умножения всех составляющих вектора на это число.

Сложение векторов будет сводиться к сложению их составляющих.

Нулевым будем считать вектор, у которого все составляющие равны нулю.

Линейно-зависимыми будем считать векторы

x⁽¹⁾, x⁽²⁾, …, x⁽ⁿ⁾

если существуют такие не все нулевые константы C₁, C₂, …, C_n, что

C₁∙x⁽¹⁾+C₂∙x⁽²⁾+…+C_n∙x⁽ⁿ⁾=0

В противном случае векторы считаются линейно-независимыми.

В последнем уравнении слева стоит вектор-сумма, который может по сделанному определению быть равен нулю при всех нулевых составляющих. Если количество векторов n, то это векторное уравнение равносильно системе из n уравнений с неизвестными C₁, C₂, …, C_n:

C₁∙x₁⁽¹⁾+C₂∙x₁⁽²⁾+…+C_l∙x₁⁽ⁿ⁾=0

C₁∙x₂⁽¹⁾+C₂∙x₂⁽²⁾+…+C_l∙x₂⁽ⁿ⁾=0

.........

C₁∙x_n⁽¹⁾+C₂∙x_n⁽²⁾+…+C_l∙x_n⁽ⁿ⁾=0

Если число векторов больше размерности пространства n<l, то есть число уравнений меньше числа неизвестных, то система видимо будет иметь отличные от нулевого решения для С_j и наши векторы будут соответственно линейно-зависимыми. Другими словами – число линейно-независи­мых векторов не больше размерности пространства.

При n=l (число уравнений равно числу неизвестных) система может иметь ненулевое решение (а векторы могут быть линейно-зависимыми) только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Таким образом, для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из составляющих векторов, был отличен от нуля или чтобы ранг матрицы, составленной из векторов, был равен числу векторов.

Введем теперь новое понятие, которое в дальнейшем будет широко использоваться:

Скалярным произведением (x, y) двух векторов

x(x₁, x₂,…, x_n) и y(y₁, y₂, …, y_n)

называется число, равное следующей сумме: .

Взаимно-ортогональными или взаимно-перпендикуляр­ными будем называть два вектора, если их скалярное произведение равно нулю.

Корень квадратный из скалярного произведения (x, x) вектора x(x₁, x₂,…, x_n) на этот же вектор

||x||²=(x, x)= ; ||x||= .

называют нормой, длиной или модулем вектора х.

Использование скалярного произведения позволяет записать систему однородных линейных алгебраических уравнений в виде:

(x, a_j)=0 (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, n)

откуда очевидно, что ее решение сводится к нахождению вектора х, ортогонального ко всем векторам a_j. Решением этой задачи мы займемся в разделе, посвященном матрицам и линейной алгебре, а пока ограничимся тем набором понятий и операций, которые уже нами определены и разместим соответствующие данные и методы в классе С++.